Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的兩邊OA、OC分別落在x軸、y軸的正半軸上，等腰Rt△ADE的兩個(gè)頂點(diǎn)D、E和正方形頂點(diǎn)B三點(diǎn)在一條直線上．
（1）如圖1，連接OD，求證：△OAD≌△BAE；
（2）如圖2，連接CD，求證：BE-$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD；
（3）如圖3，當(dāng)圖1中的Rt△ADE的頂點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)E正好落在x軸上，F(xiàn)為線段OC上一動(dòng)點(diǎn)（不與O、C重合），G為線段AF的中點(diǎn)，若CG⊥GK交BE于點(diǎn)K時(shí)，請(qǐng)問(wèn)∠KCG的大小是否變化？若不變，請(qǐng)求其值；若改變，求出變化的范圍．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角相等可得∠BAD=∠EAF，由此得∠OAD=∠BAE，根據(jù)SAS證明△OAD≌△BAE；
（2）作輔助線構(gòu)建正方形ANDM和等腰直角三角形CFD，把所求CD轉(zhuǎn)化為CF，證CF=OM，由（1）中的全等可知∠ODA=∠BEA=45°，證明∠ODC=45°，推出CF與CD的關(guān)系，利用直角三角形斜邊中線和正方形的性質(zhì)求出BE-$\frac{1}{2}$DE的值為OM，得出結(jié)論；
（3）作輔助線構(gòu)建正方形BMKN和全等三角形，首先利用全等證明CG=QG，由線段垂直平分線性質(zhì)得KC=KQ，證明Rt△CNK≌Rt△QMK，得∠CKN=∠QKM，可知∠CKQ=90°，得△KCQ是等腰直角三角形，因此得出結(jié)論：∠KCG的大小不變，等于45°．

解答 證明：（1）如圖1，在正方形ABCO中，
∵∠BAF=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAD+∠OAB=∠EAF+∠BAF，
即∠OAD=∠BAE，
∵AB=AO，AD=AE，
∴△OAD≌△BAE；
（2）如圖2，設(shè)CD與AB的交點(diǎn)為P，
過(guò)C作CF⊥OD于F，過(guò)A作AN⊥DE于N，AM⊥OD于M，
∵等腰Rt△ADE，AD=AE，
∴AN=DN=$\frac{1}{2}$DE，
∴四邊形ANDM是正方形，
∴DN=DM，
∴BE-$\frac{1}{2}$DE=OD-DM=OM，
由①△OAD≌△BAE得，∠ODA=∠BEA=45°，
∴∠ODE=90°，
∵∠OAB=∠ODB=90°，∠OPA=∠BPD，
∴△OAP∽△BDP，
∴$\frac{OA}{AP}=\frac{BD}{PD}$，
∴$\frac{BC}{AP}=\frac{BD}{PD}$，
∵∠CBD=90°+∠ABE，∠APD=90°+∠AOD，
∠ABE=∠AOD，
∴∠CBD=∠APD，
∴△CBD∽△APD，
∴∠CDB=∠ADO=45°，
∴∠ODC=90°-45°=45°，
∵sin45°=$\frac{CF}{CD}$，
∴CF=$\frac{\sqrt{2}CD}{2}$，
∵△COF≌△OAM，
∴CF=OM，
∴BE-$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD；
（3）如圖3，∠KCG的大小不變，理由是：
過(guò)K作KM⊥AB于M，KN⊥BC，交CB的延長(zhǎng)線于N，延長(zhǎng)CG、BA交于Q，連接KQ，
∵∠N=∠MBN=∠BMK=90°，
∴四邊形BMKN是矩形，
∵AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠ABE=45°，
∴BM=KM，
∴矩形BMKN是正方形，
∵OC∥AB，
∴∠OCG=∠GQA，
∵FG=AG，∠CGF=∠AGQ，
∴△FCG≌△AQG，
∴CG=QG，
∵CG⊥GK，
∴KC=KQ，
∵KN=KM，
∴Rt△CNK≌Rt△QMK，
∴∠CKN=∠QKM，
∴∠CKQ=∠CKM+∠MKQ=∠CKM+∠CKN=90°，
∴△KCQ是等腰直角三角形，
∴∠KCG=∠KQC=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)和判定；要注意以下兩個(gè)問(wèn)題：①對(duì)于第二問(wèn)中的結(jié)論：和或差的形式，這是一個(gè)證明中的難點(diǎn)，要針對(duì)結(jié)論中出現(xiàn)的線段找對(duì)應(yīng)的相等或倍數(shù)關(guān)系做替換，想辦法把這些線段放在同一個(gè)三角形中或同一組相似或全等的圖形中找關(guān)系，進(jìn)行證明；②第三問(wèn)中的角確定其定值還是范圍，從這一角所在的三角形入手，找所有邊存在的關(guān)系進(jìn)行證明，得出結(jié)論．