Question

13．觀察下列各式：
（x-1）÷（x-1）=1；
（x²-1）÷（x-1）=x+1；
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1；
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1；
（1）根據(jù)上面各式的規(guī)律可得（xⁿ⁺¹-1）÷（x-1）=xⁿ+x^n-1+…+x+1；
（2）利用（1）的結(jié)論求2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2+1的值；
（3）若1+x+x²+…+x²⁰¹⁵=0，求x²⁰¹⁶的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知發(fā)現(xiàn)結(jié)果的規(guī)律：按x進(jìn)行降冪排列，各項系數(shù)為1，直接寫出結(jié)論即可；
（2）將（1）中的規(guī)則逆用，計算即可；
（3）將（1）中結(jié)論逆用，列出方程，求解即可．

解答 解：（1）由已知發(fā)現(xiàn)，結(jié)果的規(guī)律：按x進(jìn)行降冪排列，各項系數(shù)為1，最高次項的次數(shù)為等式前面的最高次數(shù)減1，
可知；（xⁿ⁺¹-1）÷（x-1）=xⁿ+x^n-1+…+x+1，
（2）2²⁰¹⁵+2²⁰¹⁴+…+2+1=（2²⁰¹⁶-1）÷（2-1）=2²⁰¹⁶-1；
（3）由1+x+x²+…+x²⁰¹⁵=0可得，
（x²⁰¹⁶-1）÷（x-1）=0，
∴x²⁰¹⁶-1=0，
∴x²⁰¹⁶=1．

點(diǎn)評 此題主要是規(guī)律問題的探索與應(yīng)用，根據(jù)具體的等式發(fā)現(xiàn)規(guī)律并合理分析應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．