Question

3．問題初探：如圖1，在矩形ABCD中，AB=$\frac{1}{2}$BC=a，點(diǎn)E是BC邊中點(diǎn)，將線段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A′E（點(diǎn)A′與點(diǎn)D重合），則易得△BA′E的面積為$\frac{1}{2}$a²．

理解應(yīng)用：如圖2，在Rt△ABC中，BC=a，∠ACB=90°，將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段BE，用含a的代數(shù)式表示△BCE的面積，并說明理由．
問題解決：如圖3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=6，將線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，直接寫出△BCE的面積．

Answer 1

分析 問題初探：由矩形的性質(zhì)得出CD=AB，再用面積公式求解即可：
理解應(yīng)用：作EF⊥BC于F，如圖2，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=EB，∠ABE=90°，再根據(jù)等角的余角相等得到∠A=∠EBF，則可根據(jù)“AAS”可判斷△ABC≌△BEF，所以BC=EF=a，然后根據(jù)三角形面積公式可得到S_△BCE═$\frac{1}{2}$a²；
解決問題：作AH⊥BC于H，連結(jié)EH，如圖3，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=3，然后利用探究的結(jié)論得到S_△BEH=$\frac{1}{2}$BH²=$\frac{9}{2}$，于是有S_△BCE=2S_△BEH=9．

解答 解：
問題初探：在矩形ABCD中，CD=AB=a，
∵點(diǎn)E是BC邊中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=a，
∴S_△BA'E=$\frac{1}{2}$BE×CD=$\frac{1}{2}$a²，
故答案為$\frac{1}{2}$a²．
理解應(yīng)用：△BCE的面積為$\frac{1}{2}$a²，
理由：作EF⊥BC于F，如圖1，
∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
∴AB=EB，∠ABE=90°，
∴∠ABC+∠EBF=90°，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠EBF，
在△ABC和△BEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠EFB}\\{∠A=∠EBF}\\{AB=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BEF，
∴BC=EF=a，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$BC×EF=$\frac{1}{2}$a²，
問題解決：作AH⊥BC于H，連接EH，如圖2，
∵AB=AC，
∴CH=BH=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE，
由（2）的結(jié)論得，S_△BEH=$\frac{1}{2}$BH²=$\frac{9}{2}$，
∴S_△BCE=2S_△BEH=2×$\frac{9}{2}$=9．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．本題的關(guān)鍵是構(gòu)建全等三角形．