Question

9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2．P是AB邊上一動點，PD⊥AC于點D，點E在P的右側，且PE=1，連結CE．P從點A出發(fā)，沿AB方向運動，當E到達點B時，P停止運動．在整個運動過程中，圖中陰影部分面積S₁+S₂的大小變化情況是（　　）

• A． 一直減小
• B． 一直不變
• C． 先減小后增大
• D． 先增大后減小

Answer 1

分析 設PD=x，AB邊上的高為h，想辦法求出AD、h，構建二次函數，利用二次函數的性質解決問題即可．

解答 解：在RT△ABC中，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=2，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，設PD=x，AB邊上的高為h，
h=$\frac{AC•BC}{AB}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵PD∥BC，
∴$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，
∴AD=2x，AP=$\sqrt{5}$x，
∴S₁+S₂=$\frac{1}{2}$•2x•x+$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{5}$-1-$\sqrt{5}$x）•$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=x²-2x+4-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=（x-1）²+3-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴當0＜x＜1時，S₁+S₂的值隨x的增大而減小，
當1≤x≤2時，S₁+S₂的值隨x的增大而增大．
故選C．

點評 本題考查動點問題的函數圖象、三角形面積，平行線的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是構建二次函數，學會利用二次函數的增減性解決問題，屬于中考�？碱}型．