Question

已知，AC，BD相交于點O，BP，CP分別平分∠ABD，∠ACD交于點P．
（1）若∠A=70°，∠D=60°，求∠P的度數(shù)；
（2）試探索∠P與∠A、∠D間的數(shù)量關系；
（3）若∠A：∠D：∠P=2：4：x，求x的值．

Answer 1

考點：對頂角、鄰補角,角平分線的定義

專題：

分析：（1）運用三角形的外角等于兩個不相鄰的內角的和，可得∠D+∠DCN=∠P+∠PBN，∠A+∠ABP=∠P+∠ACP，再根據(jù)角平分線的定義和等式的性質可得∠D+∠A=2∠P，從而求出∠P的度數(shù)；
（2）由（1）可求得∠P=

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（∠A+∠D）；
（3）代入（2）的關系式可求得x的值．

解答：
解：（1）∵∠BNC=∠D+∠DCN，∠BNC=∠P+∠PBN（三角形的外角等于兩個不相鄰的內角的和），
∴∠D+∠DCN=∠P+∠EBN（等量代換），
同理：∠A+∠ABP=∠P+∠ACP，
∴∠D+∠DCN+∠A+∠ABP=2∠P+∠PBN+∠ACP（等式性質），
∵BP，CP分別平分∠ABD，∠ACD，
∴∠DCN=∠ACP，∠ABP=∠PBN（角平分線的定義），
∴∠D+∠A=2∠P（等式性質），
∵∠A=70°，∠D=60°，
∴∠P=65°；
（2）由（1）可得∠D+∠A=2∠P，即∠P=

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（∠A+∠D）；
（3）由∠A：∠D：∠P=2：4：x，可設∠A=2k，∠D=4k，∠P=xk（k≠0），代入∠D+∠A=2∠P可得：6k=2xk，解得x=3．

點評：本題主要考查三角形外角的性質，解題的關鍵是在復雜圖形中觀察出外角和內角之間的關系，有一定的難度．