Question

1．已知：如圖，一次函數(shù)y=-2x與二次函數(shù)y=ax²+2ax+c的圖象交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與其對(duì)稱軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，且△ACD的面積等于2．
①求二次函數(shù)的解析式；
②在該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上求一點(diǎn)P（寫(xiě)出其坐標(biāo)），使△PBC與△ACD相似．

Answer 1

分析 （1）把拋物線對(duì)稱軸方程x=-1代入直線方程，求得相應(yīng)的縱坐標(biāo)，易得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）①根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的對(duì)稱性易得拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)D（-1，-2），故CD=4，結(jié)合三角形的面積公式可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式為y=a（x+1）²-2，利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式即可；
②需要分類討論：△PBD∽△CAD、△PBD∽△ACD．

解答 解：（1）∵y=ax²+2ax+c=a（x+1）²+c-a，
∴它的對(duì)稱軸為x=-1．
又∵一次函數(shù)y=-2x與對(duì)稱軸交于點(diǎn)C，
∴y=2．
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，2）．

（2）①∵點(diǎn)C與點(diǎn)D 關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，-2）．
∴CD=4，
∵△ACD的面積等于2．
∴點(diǎn)A到CD的距離為1，C點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，0）．
設(shè)二次函數(shù)為y=a（x+1）²-2過(guò)點(diǎn)A，則a=2，
∴y=2x²+4x．

②設(shè)P（-1，t）．
交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，6），D（-1，-2），C（-1，2），A（0，0），
則BC=2$\sqrt{5}$，PC=t-2，CD=4，AD=$\sqrt{5}$，
①當(dāng)△PBC∽△CAD時(shí)，$\frac{BC}{AD}$=$\frac{PC}{CD}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{t-2}{4}$，
解得t=10，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，10），
②當(dāng)△PBC∽△ACD時(shí)，$\frac{BC}{CD}$=$\frac{PC}{AD}$，即$\frac{2\sqrt{5}}{4}$=$\frac{t-2}{\sqrt{5}}$，
解得t=$\frac{9}{2}$，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，$\frac{9}{2}$），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，10），（-1，$\frac{9}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形的性質(zhì)，有關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，需要分類討論，以防漏解．