Question

18．如圖，CB是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，CD⊥半徑OA于D，交弦AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F．
（1）求證：CE=CB；
（2）若D為半徑OA的中點(diǎn)，CD=15，BE=10，sinA=$\frac{5}{13}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OB，如圖，利用切線的性質(zhì)得∠OBC=90°，即∠1+∠2=90°，然后證明∠3=∠2，從而利用等腰三角形的判定定理得到結(jié)論；
（2）作CH⊥BE于H，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)得BH=5，再證明∠A=∠ECH，則sin∠ECH=sinA=$\frac{HE}{CE}$=$\frac{5}{13}$，于是可計(jì)算出CE=13，從而得到DE=2，在Rt△ADE中利用正弦的定義計(jì)算出AE=$\frac{26}{5}$，接著利用勾股定理計(jì)算出AD=$\frac{24}{5}$，然后根據(jù)D為半徑OA的中點(diǎn)即可得到OA的長．

解答 （1）證明：連接OB，如圖，
∵CB是⊙O的切線，
∴OB⊥CB，
∴∠OBC=90°，即∠1+∠2=90°，
∵OA=OB，
∴∠1=∠A，
∵CD⊥OA，
∴∠A+∠4=90°，
∵∠3=∠4，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
∴CB=CE；
（2）解：作CH⊥BE于H，如圖，
∵CE=CB，
∴BH=EH=$\frac{1}{2}$BE=5，
∵∠3=∠4，
∴∠A=∠ECH，
在Rt△CHE中，∵sin∠ECH=sinA=$\frac{HE}{CE}$=$\frac{5}{13}$，
∴CE=13，
∴DE=CD-CE=15-13=2，
在Rt△ADE中，∵sinA=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{5}{13}$，
∴AE=$\frac{26}{5}$，
∴AD=$\sqrt{（\frac{26}{5}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{24}{5}$，
∵D為半徑OA的中點(diǎn)，
∴OA=2AD=$\frac{48}{5}$，
即⊙O的半徑為$\frac{48}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形．