Question

8．已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分別為D，E，

（1）如圖1，把下面的解答過(guò)程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)內(nèi)注明理由．
①線段CD和BE的數(shù)量關(guān)系是：CD=BE；
②請(qǐng)寫出線段AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明．
解：①結(jié)論：CD=BE．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE
在△ACD和△CBE中，（$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$）
∴△ACD≌△CBE，（AAS）
∴CD=BE．
②結(jié)論：AD=BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴AD=CE
∵CE=CD+DE=BE+DE，
∴AD=BE+DE．
（2）如圖2，上述結(jié)論②還成立嗎？如果不成立，請(qǐng)寫出線段AD，BE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)即可解決問(wèn)題；
（2）結(jié)論：DE-BE=AD，只要證明△ACD≌△CBE即可解決問(wèn)題；

解答 解：（1）∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE
在△ACD和△CBE中，（ $\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$）
∴△ACD≌△CBE，（ AAS）
∴CD=BE．
②結(jié)論：AD=BE+DE．
理由：∵△ACD≌△CBE，
∴AD=CE
∵CE=CD+DE=BE+DE，
∴AD=BE+DE．
故答案為：∠CBE，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，AAS，AD=CE．

（2）不成立，結(jié)論：DE-BE=AD．
理由：∵AD⊥CM，BE⊥CM，
∴∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{∠ACD=∠CBE}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE，（ AAS）
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE-BE=DE-DC=CE=AD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形的全等條件，靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題．