Question

12．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，P為劣弧$\widehat{CD}$上一點，PA交BD于點M，PB交AC于點N，記∠PBD=θ．若MN⊥PB，則2cos²θ-tanθ的值（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 設⊙O的半徑為1，則BD=2．連結(jié)PD，根據(jù)圓周角定理得出∠BPD=90°．根據(jù)三角函數(shù)定義得出PB=BD•cosθ=2cosθ，BN=$\frac{OB}{cosθ}$=$\frac{1}{cosθ}$，MN=BN•tanθ=$\frac{tanθ}{cosθ}$，由圓周角定理及正方形的性質(zhì)求出∠MPN=∠APB=∠ADB=45°，那么PN=MN=$\frac{tanθ}{cosθ}$．然后根據(jù)BN+PN=PB，得到$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{tanθ}{cosθ}$=2cosθ，兩邊同乘cosθ，整理即可求出2cos²θ-tanθ=1．

解答 解：設⊙O的半徑為1，則BD=2．連結(jié)PD，則∠BPD=90°．
在Rt△BPD中，PB=BD•cosθ=2cosθ．
在Rt△BON中，BN=$\frac{OB}{cosθ}$=$\frac{1}{cosθ}$，
在Rt△BMN中，MN=BN•tanθ=$\frac{tanθ}{cosθ}$，
在Rt△PMN中，∵∠MPN=∠APB=∠ADB=45°，
∴PN=MN=$\frac{tanθ}{cosθ}$．
∵BN+PN=PB，
∴$\frac{1}{cosθ}$+$\frac{tanθ}{cosθ}$=2cosθ，
∴1+tanθ=2cos²θ，
∴2cos²θ-tanθ=1．
故選B．

點評 本題是圓的綜合題，其中涉及到正方形的性質(zhì)，圓周角定理，三角函數(shù)定義，設⊙O的半徑為1，用含θ的代數(shù)式正確表示出PB、BN、PN的長是解題的關(guān)鍵．