Question

17．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，AE=BF=1，小球P從點(diǎn)E出發(fā)沿直線(xiàn)向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)小球P第一次碰到BC邊時(shí)，小球P所經(jīng)過(guò)的路程為$\sqrt{5}$；當(dāng)小球P第一次碰到AD邊時(shí)，小球P所經(jīng)過(guò)的路程為$\frac{5}{2}\sqrt{5}$；當(dāng)小球P第n（n為正整數(shù)）次碰到點(diǎn)F時(shí)，小球P所經(jīng)過(guò)的路程為$6\sqrt{5}n\;-5\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為$\frac{1}{2}$，通過(guò)相似三角形，來(lái)確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)．再由勾股定理就可以求出小球經(jīng)過(guò)的路徑的總長(zhǎng)度．

解答 解：根據(jù)已知中的點(diǎn)E，F(xiàn)的位置，可知入射角的正切值為$\frac{1}{2}$，第一次碰撞點(diǎn)為F，在反射的過(guò)程中，根據(jù)入射角等于反射角及平行關(guān)系的三角形的相似可得，

第二次碰撞點(diǎn)為G，在DA上，且DG=$\frac{1}{6}$DA，
第三次碰撞點(diǎn)為H，在DC上，且DH=$\frac{1}{3}$DC，
第四次碰撞點(diǎn)為M，在CB上，且CM=$\frac{1}{3}$BC，
第五次碰撞點(diǎn)為N，在DA上，且AN=$\frac{1}{6}$AD，
第六次回到E點(diǎn)，AE=$\frac{1}{3}$AB．
由勾股定理可以得出EF=$\sqrt{5}$，F(xiàn)G=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，GH=$\frac{1}{2}\sqrt{5}$，HM=$\sqrt{5}$，MN=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，NE=$\frac{1}{2}\sqrt{5}$，
當(dāng)小球P第一次碰到AD邊時(shí)，小球P所經(jīng)過(guò)的路程為$\frac{5}{2}\sqrt{5}$，當(dāng)小球P第n（n為正整數(shù)）次碰到點(diǎn)F時(shí)，小球P所經(jīng)過(guò)的路程為6$\sqrt{5}$n-5$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$；$\frac{5}{2}\sqrt{5}$；6$\sqrt{5}$n-5$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了反射原理與三角形相似知識(shí)的運(yùn)用．通過(guò)相似三角形，來(lái)確定反射后的點(diǎn)的位置，從而可得反射的次數(shù)，由勾股定理來(lái)確定小球經(jīng)過(guò)的路程，是一道學(xué)科綜合試題，屬于難題．