Question

12．如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E，連接AE，BE，DE，過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交DE于P，若AE=AP=1，PB=$\sqrt{5}$；
（1）求證：△ABE≌△ADP；
（2）求證；BE⊥DE；
（3）求正方形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是正方形，得到AB=AD，∠BAD=90°，由于AE⊥AP，得到∠EAP=90°，于是得到∠EAB=∠PAD，即可證得△ABE≌△ADP；
（2）由△ABE≌△ADP，得到∠APD=∠AEB，由于∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，于是得到結(jié)論；
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AF，交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．根據(jù)△AEP為等腰直角三角形，得到∠AEP=45°，由于∠DEB=90°，得到∠FEB=45°，于是得到△EFB為等腰角三角形，于是得到PE=$\sqrt{2}AE$=$\sqrt{2}$，由勾股定理得到BE=$\sqrt{P{B}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，EF=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求出AB²=AF²+BF²=（1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=4+$\sqrt{6}$，即可得到結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AE⊥AP，
∴∠EAP=90°，
∴∠EAB=∠PAD，
在△ABE和△ADP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AP}&{\;}\\{∠EAB=∠PAD}&{\;}\\{AB=AD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADP；

（2）證明：∵△ABE≌△ADP，
∴∠APD=∠AEB，
又∵∠AEB=∠AEP+∠BEP，∠APD=∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP=∠PAE=90°，
∴BE⊥DE；

（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AF，交AE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
∵△AEP為等腰直角三角形，
∴∠AEP=45°，又∠DEB=90°，
∴∠FEB=45°，又∠EFB=90°，
∴△EFB為等腰直角三角形，
∴PE=$\sqrt{2}AE$=$\sqrt{2}$，
∵PB=$\sqrt{5}$，
∴BE=$\sqrt{P{B}^{2}-P{E}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴EF=BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AF=AE+EF=1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴AB²=AF²+BF²=（1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=4+$\sqrt{6}$，
∴正方形ABCD的面積=AB²=4+$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．