Question

1．如圖1，已知：A（0，-2），B（-2，0），C（1，0），拋物線L₁：y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn)，直線AC與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是D．
（1）求拋物線L₁的解析式和直線AC的解析式；
（2）E是拋物線L₁上一點(diǎn)，當(dāng)△EAD的面積等于△OBD的面積的一半時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將拋物線L₁向下平移m（m＞0）個(gè)單位得到拋物線L₂，且拋物線L₂的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)M，交射線AC于點(diǎn)N，作NQ⊥x軸于點(diǎn)Q．
①求證：∠NMQ=45°；
②當(dāng)NP平分∠MNQ時(shí)，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)AC的坐標(biāo)來求直線AC的解析式；設(shè)拋物線方程為頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax²-2（a≠0），然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入來求a的值即可；
（2）由拋物線與直線交點(diǎn)的求法得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，6），作DE⊥x軸于H，則OH=4．作EF∥y軸，交直線AD于F，結(jié)合“分割法”來求三角形的面積進(jìn)行解答．需要分類討論：當(dāng)E在直線AD下方時(shí)（0＜t＜4）和當(dāng)E在直線AD上方兩種情況來求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）①由拋物線的平移規(guī)律得到拋物線L₂的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2-m．結(jié)合坐標(biāo)與圖形性質(zhì)求得MQ=NQ，由此證得結(jié)論；
②設(shè)直線MN交y軸于T，過點(diǎn)N作NH⊥y軸于點(diǎn)H．由角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定推知：△MOT，△NHT均為等腰直角三角形，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)列出關(guān)于m的方程$\sqrt{2}$（2+$\sqrt{2m+4}$）=$\sqrt{2m+4}$+m+2，利用換元法求得m的值即可．

解答 解：（1）如圖1，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（0，-2），C（1，0）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{0=k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
則直線AC的解析式為y=2x-2．
設(shè)拋物線方程為y=ax²-2（a≠0），
把B（-2，0）代入，得
0=4a-2則a=$\frac{1}{2}$，
則拋物線L₁：y=$\frac{1}{2}$x²-2；

（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=4}\\{{y}_{1}=6}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$（舍去），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，6），
∴S_△OBD=6，
∴S_△EAD=3．
如圖1，作DH⊥x軸于H，則OH=4．
作EF∥y軸，交直線AD于F，
設(shè)E（t，$\frac{1}{2}$t²-2），則F（t，2t-2）．
當(dāng)E在直線AD下方時(shí)（0＜t＜4），EF=2t-$\frac{1}{2}$t²，
S_△EAD=S_△EFA+S_△EFD=$\frac{1}{2}$EF•OG+$\frac{1}{2}$EF•GH=$\frac{1}{2}$EF•OH=2（2t-$\frac{1}{2}$t²）=3，
解得t=1或t=3，
∴E（1，-$\frac{3}{2}$）或（3，$\frac{5}{2}$）；
當(dāng)E在直線AD上方時(shí)（t＜0或t＞4），EF=$\frac{1}{2}$t²-2t．
當(dāng)t＜0時(shí)，S_△EAD=S_△EFD-S_△EFA=$\frac{1}{2}$EF•OH=2（$\frac{1}{2}$t²-2t）=3；
當(dāng)t＞4時(shí)，S_△EAD=S_△EFA-S_△EFD=$\frac{1}{2}$EF•OH=2（$\frac{1}{2}$t²-2t）=3；
解得 t=2±$\sqrt{7}$，
∴E（2+$\sqrt{7}$，$\frac{7}{2}$+2$\sqrt{7}$）或（2-$\sqrt{7}$，$\frac{7}{2}$-2$\sqrt{7}$）．
綜上，E的坐標(biāo)為：（1，-$\frac{3}{2}$）或（3，$\frac{5}{2}$）或（2+$\sqrt{7}$，$\frac{7}{2}$+2$\sqrt{7}$）或（2-$\sqrt{7}$，$\frac{7}{2}$-2$\sqrt{7}$）．

（3）①拋物線L₂的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-2-m，
∴P（0，-2-m），M（-$\sqrt{2m+4}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-2-m}\end{array}\right.$ 得N（2+$\sqrt{2m+4}$，2+2$\sqrt{2m+4}$），
∴Q（2+$\sqrt{2m+4}$，0），
∴MQ=2+$\sqrt{2m+4}$+$\sqrt{2m+4}$+=2+2$\sqrt{2m+4}$=NQ，
∴∠NMQ=45°；
②如圖2，設(shè)直線MN交y軸于T，過點(diǎn)N作NH⊥y軸于點(diǎn)H．
∵PN平分∠MNQ，NQ∥TP
∴∠MNP=∠PNQ=∠TPN，
∴PT=NT，
∵△MQT，△NHT均為等腰直角三角形，
∴MQ=NQ，HT=HN，
∴NT=$\sqrt{2}$NH，PT=TO+OP=OM+OP
∴$\sqrt{2}$（2+$\sqrt{2m+4}$）=$\sqrt{2m+4}$+m+2
令$\sqrt{m+2}$=t，則t²+（$\sqrt{2}$-2）t-2$\sqrt{2}$=0，
解得t=2或t=-$\sqrt{2}$（舍去）．
∴$\sqrt{m+2}$=2，
∴m=2．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的解析式的求法，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)的綜合能力培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．