Question

4．如圖：在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，點E在BC上運動，試探究：當(dāng)點E運動到何處時，DE與⊙O相切？并證明DE是⊙O的切線．

Answer 1

分析 若E為BC的中點時，連接OD，DE，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=90°，由于E為BC的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得DE=BE，則利用等腰三角形的性質(zhì)有∠BDE=∠DBE，加上∠ODB=∠OBD，則∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD，則∠ODE=∠OBD=90°，于是根據(jù)切線的判定方法即可判斷DE是⊙0的切線．

解答 解：當(dāng)E為BC的中點時，DE與⊙0相切．
證明如下：連接OD，DE，如圖，
∵AB是⊙0直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
又∵E為BC的中點，
∴DE=BE，
∴∠BDE=∠DBE，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD
即∠ODE=∠OBD，
∵∠ABC=90°
∴∠OBD=90°，
∴OD⊥DE
∴DE是⊙0的切線．

點評 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．