Question

11．（Ⅰ）已知兩個(gè)正數(shù)x、y滿足x+y=7，則$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值為$\sqrt{74}$．此時(shí)x的值為$\frac{14}{5}$．（提示：若借助網(wǎng)格或坐標(biāo)系，就可以從數(shù)形結(jié)合的角度來(lái)看$\sqrt{{x}^{2}+4}$，例如可以把$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$看做邊長(zhǎng)為3和4的直角三角形的斜邊）．
（Ⅱ）如圖，在每個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B均在格點(diǎn)上，且AB=7，請(qǐng)你在線段AB上找到一點(diǎn)P，使AP的長(zhǎng)為（Ⅰ）中所求的x．

Answer 1

分析 先作圖構(gòu)建兩個(gè)直角三角形：△ACP和△BDP，并作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短可知$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的最小值就是線段C′D的長(zhǎng)，并根據(jù)平行相似求出x的值．

解答 解：（I）過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作AB的垂線AC和BD，且AC=2，BD=3，
作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′，連接C′D交AB于P，連接CP，
則CP=C′P，
設(shè)AP=x，BP=y，則y=7-x，
由勾股定理得：CP=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，PD=$\sqrt{{y}^{2}+9}$，
則此時(shí)$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$的值最小，
∴C′D=C′P+DP=CP+DP=$\sqrt{{x}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+9}$=$\sqrt{{7}^{2}+（3+2）^{2}}$=$\sqrt{74}$，
∵AC′⊥AB，BD⊥AB，
∴AC′∥BD，
∴△APC′∽△BPD，
∴$\frac{AP}{PB}=\frac{AC′}{BD}$，
∴$\frac{x}{7-x}=\frac{2}{3}$，
∴x=$\frac{14}{5}$，
故答案為：$\sqrt{74}$，$\frac{14}{5}$；
（II）如圖所示，AP的長(zhǎng)就是所求出的x．

點(diǎn)評(píng) 本題是軸對(duì)稱(chēng)的最短路徑問(wèn)題，具體作法是：作某一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，與另一點(diǎn)相連，所構(gòu)成的線段長(zhǎng)就是最短距離，通常利用勾股定理即可求出．