Question

7．如圖，在?ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)角平分線性質(zhì)與平行線性質(zhì)證明∠ABD=∠CDB，再根據(jù)平行四邊形性質(zhì)證出CD=AB，∠A=∠C，可利用ASA定理判定△ABE≌△CDF；
（2）根據(jù)全等得出AE=CF，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四邊形DFBE是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠DEB=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可．

解答 證明：（1）∵∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABD，
∵∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F，
∴∠CDF=$\frac{1}{2}$∠CDB，
∵在平行四邊形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CDF=∠ABE，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB，∠A=∠C，
即$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠C}\\{AB=DC}\\{∠ABE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四邊形DFBE是平行四邊形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四邊形DFBE是矩形．

點(diǎn)評 本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力．