Question

18．已知：如圖，在?ABCD中，∠BCD的平分線CE交AD于點E，∠ABC的平分線BG交CE于點F，交AD于點G．
（1）求證：AE=DG．
（2）若BG將AD分成3：1的兩部分，且AD=20，求?ABCD的周長．

Answer 1

分析 （1）由在平行四邊形ABCD中，∠BCD的平分線CE交AD于E，∠ABC的平分線BG交CE于F，證出△ABG與△DCE是等腰三角形，得出AG=DE，則可證得結論；
（2）由BG將AD分成3：1的兩部分，且AD=20，可求得AB的長，繼而求得?ABCD的周長．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴∠AGB=∠CBG，∠DEC=∠BCE，
∵∠BCD的平分線CE交AD于E，∠ABC的平分線BG交CE于F，
∴∠ABG=∠CBG，∠DCE=∠BCE，
∴∠ABG=∠AGB，∠DCE=∠DEC，
∴AB=AG，CD=DE，
∴AG=DE，
∴AD-AG=AD-DE，
∴AE=DG．
（2）解：∵BG將AD分成3：1的兩部分，且AD=20，
∴AG=$\frac{3}{4}$AD=15，
∴AB=AG=15，
∴?ABCD的周長為：2（AB+AD）=2×（15+20）=70．

點評 此題考查了平行四邊形的性質以及等腰三角形的判定與性質．注意證得△ABG與△DCE是等腰三角形是關鍵．