Question

7．正△ABC和△A₁B₁C₁的邊AC和A₁C₁有共同的中點(diǎn)D，試判斷AA₁與BB₁的關(guān)系．

Answer 1

分析 連接DB，DB₁，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出DB⊥AC，B_1D⊥A₁C₁，推出∠BDB₁=∠CDC₁=∠ADA₁，求出AB=2AD，A₁B₁=2A₁D，由勾股定理求出DB=$\sqrt{3}$AD，DB₁=$\sqrt{3}$A_1D，得出$\frac{BD}{AD}$=$\frac{O{B}_{1}}{O{A}_{1}}$=$\sqrt{3}$，證△ADA₁∽△BDB₁，得出比例式，即可得出答案．

解答 解：連接DB、DB₁，
∵△ABC和△A₁B₁C₁均為等邊三角形，點(diǎn)D既是AC的中點(diǎn)，又是A₁C₁的中點(diǎn)，
∴DB⊥AC，B_1D⊥A₁C₁，
∴∠BDC=∠B_1DC₁=90°，
∵∠CDB₁=∠CDB₁，
∴∠BDB₁=∠CDC₁=∠ADA₁，
AB=2AD，A₁B₁=2A_1D，
由勾股定理得：DB=$\sqrt{3}$AD，DB₁=$\sqrt{3}$A_1D，
即$\frac{BD}{AD}$=$\frac{O{B}_{1}}{O{A}_{1}}$=$\sqrt{3}$，
∵∠BOB₁=∠COC₁=∠AOA₁，
∵∠BDB₁=∠ADA₁，DB₁：DA₁=DB：DA=$\sqrt{3}$：1，
∴△BDB₁∽△ADA₁，
∴BB₁：AA₁=$\sqrt{3}$：1，
∴AA₁：BB₁=1：$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握，求證△AOA₁∽△BOB₁，是解此題的關(guān)鍵，難度較大．