Question

4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C．拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=-$\frac{3}{2}$且經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）①直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②求拋物線解析式．
（2）若點(diǎn)P為直線AC上方的拋物線上的一點(diǎn)，若△PAC的面積等于△AOC的面積，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，此時△PAC與△AOC這兩個三角形是否全等？并說明理由．
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①先求出點(diǎn)A坐標(biāo)，根據(jù)A、B關(guān)于對稱軸對稱可以求出點(diǎn)B坐標(biāo)．②設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x-1），把C（0，2）代入即可解決問題．
（2）如圖1中，作點(diǎn)O關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)O′，過點(diǎn)O′作AC的平行線交拋物線于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)．
（3）存在．如圖2中，在y軸上取E（0，8），H（0，-2），F(xiàn)（0，-8）．作直線AE、AH、AF分別與拋物線交于點(diǎn)M₁、M₂、M₃．首先證明△ACB是直角三角形，再證明點(diǎn)M₁、M₂、M₃就是滿足條件的點(diǎn)．利用方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）①∵直線y=$\frac{1}{2}$x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，
∴C（0，2），A（-4，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸是x=-$\frac{3}{2}$，
∴A、B關(guān)于x=-$\frac{3}{2}$對稱，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（1，0）．
②設(shè)拋物線解析式為y=a（x+4）（x-1），把C（0，2）代入得a=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+4）（x-1）=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2．

（2）如圖1中，作點(diǎn)O關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)O′，過點(diǎn)O′作AC的平行線交拋物線于點(diǎn)P，點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)．

∵OO′⊥AC，
∴直線OO′的解析式為y=-2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{5}}\\{y=\frac{8}{5}}\end{array}\right.$，
∴直線AC與OO′的交點(diǎn)K的坐標(biāo)（-$\frac{4}{5}$，$\frac{8}{5}$），
∴點(diǎn)O′坐標(biāo)（-$\frac{8}{5}$，$\frac{16}{5}$），
∴過點(diǎn)O′與直線AC平行的直線解析式為y=$\frac{1}{2}$x+4，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+4}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（-2，3）．
此時△PAC與△AOC不全等．
理由：∵PA²+PC²=18，AC²=20，
∴PA²+PC²≠AC²，
∴△PAC不是直角三角形，
∴△PAC與△AOC不全等．

（3）存在．
理由：如圖2中，在y軸上取E（0，8），H（0，-2），F(xiàn)（0，-8）．作直線AE、AH、AF分別與拋物線交于點(diǎn)M₁、M₂、M₃．

∵OC=2，OA=4，OB=1，
∴OC²=OA•OB，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{OB}{OC}$，∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠OCB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ACB是直角三角形，
∵AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=2BC，
∵EO=2OA，
∴$\frac{AO}{EO}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{AO}{BC}$=$\frac{EO}{AC}$，∵∠AOE=∠ACB=90°，
∴△AOE∽△BCA，
∵M(jìn)₁N₁∥OE，
∴△M₁N₁A∽△EOA∽△ACB，
∴點(diǎn)M₁滿足條件，同理可證M₂、M₃也是滿足條件的點(diǎn)．
∵直線AE解析式為y=2x+8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+8}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M₁（-3，2）．
直線AH解析式為y=-$\frac{1}{2}$x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-2}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M₂坐標(biāo)（2，-3）．
直線AF解析式為y=-2x-8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-8}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=18}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M₃坐標(biāo)（5，18），
當(dāng)點(diǎn)M與C重合時，△AMN與△ABC相似，此時M₄（0，2）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（-3，2）或（2，-3）或（5，18）或（0，2）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、兩直線平行或垂直的條件等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識解決問題，學(xué)會分類討論，問題（3）的突破點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)△ABC是直角三角形，題目比較難，屬于中考壓軸題．