Question

4．設(shè)a是方程x²-$\sqrt{2018}$x-1=0的一個根，則a³-$\frac{1}{{a}^{3}}$的值是2022$\sqrt{2018}$．

Answer 1

分析 先利用一元二次方程的定義得到a²-$\sqrt{2018}$a-1=0，則a-$\frac{1}{a}$=$\sqrt{2018}$，再利用立方差公式和完全平方公式得到a³-$\frac{1}{{a}^{3}}$=（a-$\frac{1}{a}$）（a²+1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）=（a-$\frac{1}{a}$）[（a-$\frac{1}{a}$）²+3]，然后利用整體代入的方法計算．

解答 解：∵a是方程x²-$\sqrt{2018}$x-1=0的一個根，
∴a²-$\sqrt{2018}$a-1=0，
∴a-$\sqrt{2018}$-$\frac{1}{a}$=0，
∴a-$\frac{1}{a}$=$\sqrt{2018}$，
∴a³-$\frac{1}{{a}^{3}}$=（a-$\frac{1}{a}$）（a²+1+$\frac{1}{{a}^{2}}$）=（a-$\frac{1}{a}$）[（a-$\frac{1}{a}$）²+3]=$\sqrt{2018}$（2018+3）=2022$\sqrt{2018}$．
故答案為2022$\sqrt{2018}$．

點評 本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．