Question

11．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=13，邊BC上的中線AD=6．
（1）以點D為對稱中心，作出△ABD的中心對稱圖形；
（2）求點A到BC的距離．

Answer 1

分析 （1）延長AD到E使DE=AD，連接CE，則△ABD與△ECD關(guān)于點D中心對稱；
（2）作AM⊥BC于M，如圖，AE=AD+DE12，利用中心對稱的性質(zhì)得CE=AB=5，再利用勾股定理的逆定理可證明△ACE為直角三角形，∠AEC=90°，則∠BAD=90°，然后利用面積法計算出AM即可．

解答 解：（1）如圖，△DCE為所作；

（2）作AM⊥BC于M，如圖，AE=AD+DE=6+6=12，
∵△ABD與△ECD關(guān)于點D中心對稱，
∴CE=AB=5，
在△ACE中，∵CE=5，AE=12，AC=13，
而5²+12²=13²，
∴CE²+AE²=AC²，
∴△ACE為直角三角形，∠AEC=90°，
∴∠BAD=∠AEC=90°，
在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{6}^{2}}$=$\sqrt{61}$，
∵$\frac{1}{2}$AM•BD=$\frac{1}{2}$•AB•AD，
∴AM=$\frac{5×6}{\sqrt{61}}$=$\frac{30\sqrt{61}}{61}$，
即點A到BC的距離為$\frac{30\sqrt{61}}{61}$．

點評 本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變化：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．解決本題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理證明∠AEC=90°，從而得到∠BAD=90°．