Question

6．己知：一張矩形紙片記作矩形ABCD，CD=3，AD=8，點(diǎn)E是邊BC上的點(diǎn)，連結(jié)DE，將△DEC沿著DE所在的直線折疊，記點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C′，C′E所在的直線交邊AD于點(diǎn)F，設(shè)EC=x．
（1）若點(diǎn)C′恰好落在邊AD上，求x的值．
（2）①若點(diǎn)C′落在矩形ABCD內(nèi)部，求證：△FED是等腰三角形．
②當(dāng)△FED是等邊三角形時(shí)，x=$\sqrt{3}$（直接寫出答案）
（3）當(dāng)x=6時(shí)，△FED的面積=$\frac{45}{8}$（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （1）只要證明△EDC是等腰三角形即可．
（2）①欲證明△DEF是等腰三角形，只要證明∠FED=∠FDE即可．
②在Rt△DEC中，根據(jù)EC=DC•tan30°即可解決問題．
（3）如圖4中，作EM⊥AD于M．設(shè)FE=FD=x，在Rt△DEM中，∵FM=DM-DF=EC-DF=6-x，EM=CD=3，利用勾股定理列出方程即可．

解答 解：（1）如圖1中，

點(diǎn)C′恰好落在邊AD上時(shí)，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADC=90°，
由折疊的性質(zhì)可知∠EDC=∠EDF=45°，
∵∠C=∠EC′D=90°，
∴△DEC′，△DEC都是等腰直角三角形，
∴x=EC=CD=3，

（2）①如圖2中，

點(diǎn)C′落在矩形ABCD內(nèi)部時(shí)，∵∠DEC=∠DEC′，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FDE=∠DEC，
∴∠FED=∠FDE，
∴FE=FD，
∴△DEF是等腰三角形．

②如圖3，

∵△DEF是等邊三角形，
∴∠FDE=60°，
∴∠EDC=90°-∠FDE=30°，
在Rt△DEC中，EC=DC•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．
∴x=$\sqrt{3}$，
故答案為$\sqrt{3}$．
（3）如圖4中，作EM⊥AD于M．

∵∠CED=∠DEF=∠FDE，
∴FE=FD，設(shè)FE=FD=x，
在Rt△DEM中，∵FM=DM-DF=EC-DF=6-x，EM=CD=3，
∴3²+（6-x）²=x²，
∴x=$\frac{15}{4}$，
∴EF=$\frac{15}{4}$，
∴S_△EFD=$\frac{1}{2}$•EF•DC′=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{4}$×3=$\frac{45}{8}$．
故答案為$\frac{45}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．