Question

11．已知：正方形ABCD，點(diǎn)E在邊CD上，點(diǎn)F在線段BE的延長線上，且∠FCE=∠CBE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)時(shí)，求證：CF=2EF；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F位于線段AD的延長線上，求證：$\frac{EF}{BE}$=$\frac{DE}{DF}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到CD=BC，由點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)，得到CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$BC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到DE∥AB，AD∥BC，AD=CD，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{EF}{BE}$=$\frac{DF}{AD}$，等量代換得到$\frac{EF}{BE}=\frac{DF}{CD}$，①根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DF}{CD}$②，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=BC，
∵點(diǎn)E為CD邊的中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠FCD=∠CBE，∠F=∠F，
∴△FCE∽△FBC，
∴$\frac{EF}{CF}=\frac{CE}{BC}$，
又∵CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\frac{EF}{CF}$=$\frac{1}{2}$．
即CF=2EF；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，
∴DE∥AB，AD∥BC，AD=CD，
∵點(diǎn)F位于線段AD的延長線上，DE∥AB，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{DF}{AD}$，
又∵AD=CD，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{DF}{CD}$，①
∵AF∥BC，
∴∠DFE=∠CBE．
又∵∠DCF=∠CBE，
∴∠DFE=∠DCF，
又∵∠FDE=∠CDF，
∴△FDE∽△CDF，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{DF}{CD}$②，
由①②得，$\frac{EF}{BE}$=$\frac{DE}{DF}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．