Question

如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD=45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF．
（1）求證：△ADC≌△BDF；
（2）若CD=

2

，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）由AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD=45°，就可以得出AD=BD，再由直角三角形的性質(zhì)求出∠DAC=∠DBE就可以得出結(jié)論；
（2）由△ADC≌△BDF可以得出CD=ED，由勾股定理就可以求出CF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)就可以求出AE=CE，從而求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
∴∠ACD+∠DAC=90°．
∵∠BAD=45°，
∴∠ABD=45°，
∴∠BAD=∠DBA，
∴AD=BD．
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠ACD+∠EBC=90°，∠ADB=∠ADC
∴∠DAC=∠DBF．
在△ADC和△BDF中，

∠DAC=∠DBF AD=BD ∠ADC=∠BDF

，
∴△ADC≌△BDF（ASA）；

（2）△ADC≌△BDF，
∴DC=DF．
∵CD=

2

，
∴DF=

2

．
在Rt△CDF中，由勾股定理，得
CF=2．
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE，
∴BE是AC的中垂線，
∴AF=CF，
∴AF=2，
∵AD=AF+DF，
∴AD=2+

2

．
答：AD的長(zhǎng)為2+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，中垂線的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．