Question

1．如圖，正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，3）
（1）頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，4），頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，7）；
（2）現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從C、A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q沿折線A→O→C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒k個(gè)單位，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒時(shí)，以P、Q、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求此時(shí)k的值．
（3）若正方形OABC以每秒$\frac{5}{3}$個(gè)單位的速度沿射線AO下滑，直至頂點(diǎn)C落到x軸上時(shí)停止下滑．設(shè)正方形OABC在x軸下方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作CM⊥x軸于，AN⊥x軸于N．連接AC、BO交于點(diǎn)K．易證△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3，推出C（-3，4），由CK=AK，OK=BK，可得K（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），B（1，7）．
（2）分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)Q在OA上時(shí)．②當(dāng)點(diǎn)Q在OC上時(shí)．分別計(jì)算即可．
（3）分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，t=3，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，設(shè)O’C’交x軸于點(diǎn)E，作A’F⊥x軸于點(diǎn)F（如圖3中）．②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=4當(dāng)3＜t≤4時(shí)（如圖4中），設(shè)A’B’交x軸于點(diǎn)F．分別求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，作CM⊥x軸于，AN⊥x軸于N．連接AC、BO交于點(diǎn)K．

易證△AON≌△COM，可得CM=ON=4，OM=AN=3，
∴C（-3，4），∵CK=AK，OK=BK，
∴K（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$），B（1，7），
故答案為-3，4，1，7．

（2）由題意得，AO=CO=BC=AB=5，
當(dāng)t=2時(shí)，CP=2．
①當(dāng)點(diǎn)Q在OA上時(shí)，∵PQ≥AB＞PC，
∴只存在一點(diǎn)Q，使QC=QP．
作QD⊥PC于點(diǎn)D（如圖2中），則CD=PD=1，

∴QA=2k=5-1=4，
∴k=2．
②當(dāng)點(diǎn)Q在OC上時(shí)，由于∠C=90°所以只存在一點(diǎn)Q，使CP=CQ=2，
∴2k=10-2=8，∴k=4．
綜上所述，k的值為2或4．

（3）①當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，t=3．
當(dāng)0＜t≤3時(shí)，設(shè)O’C’交x軸于點(diǎn)E，作A’F⊥x軸于點(diǎn)F（如圖3中）．

則△A’OF∽△EOO’，

∴$\frac{EO′}{OO′}$=$\frac{A′F}{OF}$=$\frac{3}{4}$，OO′=$\frac{5}{3}$t，
∴EO′=$\frac{5}{4}$t，
∴S=$\frac{25}{24}$t²．
②當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=4
當(dāng)3＜t≤4時(shí)（如圖4中），設(shè)A’B’交x軸于點(diǎn)F，

則A’O=A′O=$\frac{5}{3}$t-5，
∴A′F=$\frac{5t-15}{4}$．
∴S=$\frac{1}{2}$（$\frac{5t-15}{4}$+$\frac{5}{4}$t）×5=$\frac{50t-75}{8}$．
綜上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{25}{24}{t}^{2}}&{（0＜t≤3）}\\{\frac{50t-75}{8}}&{（3＜t≤4）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．