Question

2．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以DE為對角線構(gòu)造正方形DGEF，點(diǎn)G在正方形ABCD內(nèi)部，連接BF與邊AD交于點(diǎn)M，連接CG．若DM=6，AM=4，則線段CG的長為$\frac{50}{7}$．

Answer 1

分析 連接AF，過F作FH⊥AD于H，根據(jù)△ADF≌△CDG，可得CG=AF，設(shè)FH=DH=x，則MH=6-x，根據(jù)FH∥AB，可得$\frac{FH}{BA}$=$\frac{MH}{MA}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{6-x}{4}$，求得FH=$\frac{30}{7}$，MH=$\frac{12}{7}$，AH=$\frac{40}{7}$，再根據(jù)勾股定理即可得到Rt△AFH中AF的長，進(jìn)而得出CG的長．

解答 解：如圖，連接AF，過F作FH⊥AD于H，則FH∥AB，
∵四邊形ABCD和四邊形DFEG是正方形，
∴DF=DG，∠ADF=∠ADG=45°=∠CDG，AD=CD，
∴△ADF≌△CDG，
∴CG=AF，
∵DM=6，AM=4，
∴AB=10，
設(shè)FH=DH=x，則MH=6-x，
∵FH∥AB，
∴$\frac{FH}{BA}$=$\frac{MH}{MA}$，即$\frac{x}{10}$=$\frac{6-x}{4}$，
解得x=$\frac{30}{7}$，
∴FH=$\frac{30}{7}$，MH=$\frac{12}{7}$，AH=$\frac{40}{7}$，
∴Rt△AFH中，AF=$\sqrt{（\frac{40}{7}）^{2}+（\frac{30}{7}）^{2}}$=$\frac{50}{7}$，
∴CG=$\frac{50}{7}$，
故答案為：$\frac{50}{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、勾股定理等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問題．