Question

18．如圖，已知△ABC，CA=CB，DC=DE，∠BCA=∠CDE=90°，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．
（1）求證：CB⊥EB；
（2）求證：2AD-AB=$\sqrt{2}$EB；
（3）若CE=2，AC=$\sqrt{2}$，點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于CE對(duì)稱，連BF，則S_△EBF=1．

Answer 1

分析 （1）如圖1，過(guò)C作CG⊥AB于G，過(guò)E作EH⊥AB于H，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DG=EH，CG=DH，等量代換得到DG=BH=EH，根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，過(guò)B作BH⊥CE于H，連接DF交CE于O，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得到CE⊥DF，OF=OD=$\frac{1}{2}$CE=1，推出△CBE是等腰直角三角形，得到B，D重合，根據(jù)三角形的面積即可得到結(jié)論；

解答 （1）證明：如圖1，過(guò)C作CG⊥AB于G，過(guò)E作EH⊥AB于H，
∵∠BCA=∠CDE=90°，
∴∠CDG+∠EDH=∠EDH+∠DEH，
∴∠CDG=∠DEH，
在△CDG與△DEH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CGD=∠EHD}\\{∠CDG=∠DEH}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△DEH，
∴DG=EH，CG=DH，
∵CG=BG，
∴DH=BG，
∴DG=BH=EH，
∴∠EBH=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠CBE=90°，
∴CB⊥=BE；
（2）證明：∵2AD-AB=2（AG+DG）-2BG=2（DH+BH）-2DH=2BH，
∵BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BE，
∴2AD-AB=$\sqrt{2}$EB；
（3）如圖2，過(guò)B作BH⊥CE于H，連接DF交CE于O，
設(shè)CE，BF交于點(diǎn)G，
∵點(diǎn)F與點(diǎn)D關(guān)于CE對(duì)稱，
∴CE⊥DF，OF=OD=$\frac{1}{2}$CE=1，
∴OC=OE=$\frac{1}{2}$CE=1，
∵AC=$\sqrt{2}$，
∴BC=$\sqrt{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$，
∴BC=BE，
∴△CBE是等腰直角三角形，
∴B，D重合，
∴S_△BEF=S_△DEF=$\frac{1}{2}$×2×1=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積的求法，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．