Question

17．如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是正方形ABCD的邊CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AF，且△ADE繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度能與△ABF重合．
（1）請(qǐng)你連結(jié)EF，判定△AEF的形狀，并說明理由；
（2）若正方形ABCD的周長(zhǎng)為24，DE：CD=1：3，求點(diǎn)B到AF的距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得AB=AD，∠BAD=90°再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AE=AF，∠EAF=∠BAD=90°，于是可判斷△AEF為等腰直角三角形；
（2）作BH⊥AF于H，如圖，先計(jì)算出AB=AD=CD=6，DE=$\frac{1}{3}$CD=2，再利用勾股定理計(jì)算出AE=2$\sqrt{10}$，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BF=DE=2，AF=AE=2$\sqrt{10}$，然后利用面積法計(jì)算出BH即可．

解答 解：（1）△AEF為等腰直角三角形．理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ADE繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一定角度能與△ABF重合，
∴AE=AF，∠EAF=∠BAD=90°，
∴△AEF為等腰直角三角形；
（2）作BH⊥AF于H，如圖，
∵正方形ABCD的周長(zhǎng)為24，
∴AB=AD=CD=6，
∵DE：CD=1：3，
∴DE=$\frac{1}{3}$CD=2，
∴AE=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∵△ADE繞點(diǎn)A沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，
∴BF=DE=2，AF=AE=2$\sqrt{10}$，
∴BH=$\frac{2×6}{2\sqrt{10}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
即點(diǎn)B到AF的距離為$\frac{3\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的判定．