Question

20．如圖，點B是x軸上一動點，點A（0，2），過A作x軸的平行線交AB的中垂線CD于D，點C為垂足，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A，B，D三點，當點B從（1，0）運動到（4，0）時，則a的變化范圍是a≤-$\frac{1}{3}$或a≥$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 設點B的坐標為（m，0），則點C（$\frac{m}{2}$，1），根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)結合相似三角形的性質(zhì)即可得出點D的坐標為（$\frac{{m}^{2}+4}{2m}$，2），根據(jù)點A、B、D的坐標利用待定系數(shù)法即可求出a值，結合m的取值范圍即可得出a的變化范圍．

解答 解：設點B的坐標為（m，0），則點C（$\frac{m}{2}$，1），
∵DC⊥AB，
∴∠ACD=∠BOA=90°．
∵∠BAO+∠CAD=∠BAO+∠OBA=90°，
∴∠CAD=∠OBA，
∴△CAD∽△OBA，
∴$\frac{AC}{BO}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=$\frac{AC•AB}{BO}$=$\frac{{m}^{2}+4}{2m}$，
∴點D的坐標為（$\frac{{m}^{2}+4}{2m}$，2）．
將A（0，2）、B（m，0）、D（$\frac{{m}^{2}+4}{2m}$，2）代入y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a{m}^{2}+bm+c=0}\\{a（\frac{{m}^{2}+4}{2m}）^{2}+b\frac{{m}^{2}+4}{2m}+c=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{{m}^{2}-4}}\\{b=\frac{4（{m}^{2}+4）}{2m（{m}^{2}-4）}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴a=-$\frac{4}{{m}^{2}-4}$．
∵1≤m≤4，
∴a≤-$\frac{1}{3}$或a≥$\frac{4}{3}$．
故答案為：a≤-$\frac{1}{3}$或a≥$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、線段垂直平分線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)結合相似三角形的性質(zhì)求出點D的坐標是解題的關鍵．