Question

如圖，P是等邊△ABC內(nèi)部的一點(diǎn)，PA=2，PB=2

3

，PC=4，求△ABC的邊長．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,勾股定理的逆定理

專題：

分析：如圖，作旋轉(zhuǎn)變換，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)首先證明△APQ為等邊三角形，得到∠APQ=60°；然后證明△BPQ為直角三角形；求出線段AM、PM的長度，運(yùn)用勾股定理求出AB的長度，即可解決問題．

解答：解：將△APC繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到△AQB的位置；
連接PQ；過點(diǎn)A作AM⊥BP，交BP的延長線于點(diǎn)M．
由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得：AP=AQ，∠PAQ=60°，BQ=PC=4；
∴△APQ為等邊三角形，∠APQ=60°，PQ=PA=2；
∵22+(2

3

)2=42，
∴∠BPQ=90°，∠APB=90°+60°=150°，
∴∠APM=30°，AM=

1

2

PA=1，PM=

3

2

PA=

3

；
∴BM=BP+PM=3

3

；
由勾股定理得：AB²=BM²+AM²=27+1=28，
∴AB=2

7

．

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)及其應(yīng)用、勾股定理逆定理等幾何知識(shí)點(diǎn)問題；解題的關(guān)鍵是作旋轉(zhuǎn)變換，借助旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)將該題分散的條件集中．