Question

18．如圖，已知等邊△ABC，AB=6，點D在AB上，點F在AC的延長線上，BD=CF，DF交BC于點P，作DE⊥BC與點E，則EP的長是3．

Answer 1

分析 過點D作DH∥AC交BC于H，判斷出△BDH是等邊三角形，從而求出HD=CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠PCF=∠PHD，然后利用“角角邊”證明△PCF和△PHD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PC=PH，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BE=EH，然后求出EP=$\frac{1}{2}$BC，從而得解．

解答 解：如圖，過點D作DH∥AC交BC于H，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△BDH也是等邊三角形，
∴BD=HD，
∵BD=CF，
∴HD=CF，
∵DH∥AC，
∴∠PCF=∠PHD，
在△PCF和△PHD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PCF=∠PHD}\\{∠CPF=∠HPD}\\{HD=CF}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△PHD（AAS），
∴PC=PH，
∵△BDH是等邊三角形，DE⊥BC，
∴BE=EH，
∴EP=EH+HP=$\frac{1}{2}$BC，
∵等邊△ABC，AB=6，
∴EP=$\frac{1}{2}$×6=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等邊三角形是解題的關(guān)鍵．