Question

13．已知：如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）DE與⊙O是否相切？請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形OBED是正方形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理得出∠ADB=90°，進(jìn)而得出∠EDB=∠EBD，從而得出∠ODE=∠OBD+∠EBD=90°，問題得證；
（2）由題意得出四邊形OBED是矩形，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）DE與⊙O相切；理由如下：
連接OD、BD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
則∠CDB=90°，
點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，
∴ED=$\frac{1}{2}$BC=EB，
∴∠EDB=∠EBD，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠ODE=∠OBD+∠EBD=90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）當(dāng)∠A=∠C=45°時(shí)，四邊形OBED是正方形．理由如下：
∵∠A=45°時(shí)，OA=OD，
∴∠DOB=90°
∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°，
∴四邊形OBED是矩形．
又∵OB=OD，
∴四邊形OBED是正方形

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了切線的判定定理、圓周角定理、正方形的判定方法、矩形的判定方法、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；熟練掌握切線的判定定理，證明四邊形OBED是矩形是解決（2）的關(guān)鍵．