Question

3．如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)E、F分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE、DF、EF．
（1）如圖1，連接AF，若AF⊥BC，E為AB的中點(diǎn)，且EF=2，求DF的長(zhǎng)；
（2）如圖2，若BE=BF，G為DE的中點(diǎn)，連接AF、AG、FG，求證：AG⊥FG；
（3）如圖3，若AB=4，將△BEF沿EF翻折得到△EFP（始終保持點(diǎn)P在菱形ABCD的內(nèi)部），連接AP、BP及CP，請(qǐng)直接寫出當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先判斷出BF=CF=2，進(jìn)而求出CD=4，再在Rt△CDG中求出CG，DG，最后在Rt△DFG中用勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）構(gòu)造全等三角形得出DH=AE，AG=HG，再依次判斷出△AFC≌△AHD，△ABF≌△ACH即可得出△AFH是等邊三角形即可得出結(jié)論；
（3）當(dāng)B、P、G、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC值最小，最小值為BD．先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△APC≌△DEC，則CP=CE，再證明△PCE是等邊三角形，得到PE=CE=CP，然后根據(jù)菱形、三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定得出BP=CP，同理，得出DE=CE，則BP=PE=ED=$\frac{1}{3}$BD．

解答 解：（1）如圖1，
∵AF⊥BC，
∴∠AFB=90°，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=BE，
∴EF=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵∠ABC=60°，
∴BF=EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴CF=EF=2，
過點(diǎn)D作DG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于G，
在Rt△CDG中，DCG=180°-∠BCD=60°，
∴∠CDG=30°，CG=$\frac{1}{2}$CD=2，DG=$\sqrt{3}$CG=2$\sqrt{3}$，
∴FG=CF+CG=4，
在Rt△DFG中，DF=$\sqrt{F{G}^{2}+D{G}^{2}}$=2$\sqrt{7}$；
（2）如圖2，延長(zhǎng)AG交CD于H，連接AC，F(xiàn)H，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠HDG，
∵G為DE的中點(diǎn)，
∴EG=DG，
在△AEG和△DHG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEG=∠HDG}\\{EG=DG}\\{∠AGE=∠HGD}\end{array}\right.$，
∴△AEG≌△DHG，
∴AG=HG，AE=DH，
∵AB=BC=CD，BE=BF，
∴FC=DH，BF=CH，
在△AFC和△AHD中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=DH}\\{∠ACF=∠ADH=60°}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△AHD，
∴AH=AF，
同理：△ABF≌△ACH，
∴∠BAF=∠CAH，
∴∠FAH=∠FAC+∠CAH=∠FAC+∠BAF=∠BAC=60°，
∴△AFH是等邊三角形，
∵AG=HG，
∴AG⊥FG．
（3）先說明為什么四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC最�。�

如圖a，

在△ABC中，P為其中任意一點(diǎn)．連接AP，BP，得到△ABP．
以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，得到△EBD
∵旋轉(zhuǎn)60°，且BD=BP，
∴△DBP 為一個(gè)等邊三角形
∴PB=PD
∴PA+PB+PC=DE+PD+PC
∴當(dāng)E、D、P、C 四點(diǎn)共線時(shí)，為PA+PB+PC最�。�


如圖3，當(dāng)B、P、G、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC值最小，最小值為BD．
∵將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△DGC，
∴△APC≌△DGC，
∴CP=CG，∠PCG=60°，
∴△PCG是等邊三角形，
∴PG=CE=CP，∠GPC=∠CGP=60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠PCB=∠GPC-∠CBP=60°-∠30°=30°，
∴∠PCB=∠CBP=30°，
∴BP=CP，
同理，DE=CG，
∴BP=PG=GD．
連接AC，交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，BC=4，
∴BO=BC•cos∠OBC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2BO=4$\sqrt{3}$，
∴BP=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
即當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長(zhǎng)為$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，最小值的線段是解題的關(guān)鍵也是難點(diǎn)．