Question

16．如圖，在⊙O中，∠AOB=150°，∠ABC=45°，延長(zhǎng)OB到D，使BD=OB，連接CD．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若CD=6，求弓形BC（劣弧所對(duì)）的面積．（結(jié)果保留π和根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件求得△OBC是等邊三角形，進(jìn)而求得∠BCD=∠D=30°，從而求得∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°，即可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)正切函數(shù)求得半徑，然后根據(jù)弓形BC（劣弧所對(duì)）的面積：S_扇形-S_△OCB即可求得．

解答 解：（1）∵OA=OB，∠AOB=150°
∴∠A=∠OBA=15°，
∴∠ABC=45°，
∴∠OBC=60°，
∵OC=OB，
∴△OBC是等邊三角形，
∴OB=BC，
∵BD=OB，
∴BC=BD，
∴∠BCD=∠D=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°，
∴CD與⊙O相切；
（2）在RT△OCD中，CD=6，
∴OC=CD•tan∠D=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$OC•CD=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}$×6=6$\sqrt{3}$，
∴S_△OCB=$\frac{1}{2}$S_△OCD=3$\sqrt{3}$，
∴弓形BC（劣弧所對(duì)）的面積：S_扇形-S_△OCB=$\frac{60π×（2\sqrt{3}）^{2}}{360}$-3$\sqrt{3}$=2π-3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定，正切函數(shù)的應(yīng)用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，扇形的面積等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．