Question

10．如圖，點D、E是Rt△ABC兩直角邊AB、AC上的一點，連接BE，已知點F、G、H分別是DE、BE、BC的中點．
（1）求∠FGH度數(shù)；
（2）連CD，取CD中點M，連接GM，若BD=8，CE=6，求GM的長．

Answer 1

分析 （1）首先證明FG∥DB，GH∥EC，由平行線的性質(zhì)可知∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG，從而可證明∠FGH=90°；
（2）連接FM、HM．首先證明四邊形FGHM為矩形，然后利用勾股定理求解即可．

解答 解：（1）∵F、G、H分別是DE、BE、BC的中點，
∴FG∥DB，GH∥EC．
∴∠DBE=∠FGE，∠EHG=∠AEG．
∠FGH=∠FGE+∠EGH=∠ABE+∠BEA=180°-∠A=180°-90°=90°．
（2）如圖所示：連接FM、HM．

∵M、H分別是BC和DC的中點，
∴MN∥BD，MN=$\frac{1}{2}BD$．
同理：GF∥BD，GF=$\frac{1}{2}BD$．
∴四邊形FGHM為平行四邊形．
∵G、H、M分別是BE、BC、DC的中點，
∴GH=$\frac{1}{2}EC$=3，$HM=\frac{1}{2}BD=4$，
由（1）可知：∠FGH=90°，
∴四邊形FGHM為矩形．
∴∠GHM=90°．
∴GM=$\sqrt{G{H}^{2}+H{M}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

點評 本題主要考查的是三角形的中位線定理、平行四邊形的判定、矩形的判定、勾股定理、平行線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，證得四邊形FGHM是矩形是解題的關(guān)鍵．