Question

19．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸交于點C（0，4）．
（1）求直線BC與拋物線的解析式；
（2）若點M是拋物線在x軸下方圖象上的一動點，過點M作MN∥y軸交直線BC于點N，當 MN的值最大時，求△BMN的周長．
（3）在（2）的條件下，MN取得最大值時，若點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，以BC為邊作平行四邊形CBPQ，設平行四邊形CBPQ的面積為S₁，△ABN的面積為S₂，且S₁=4S₂，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）直接用待定系數(shù)法求出直線和拋物線解析式；
（2）先求出最大的MN，再求出M，N坐標即可求出周長；
（3）先求出△ABN的面積，進而得出平行四邊形CBPQ的面積，從而求出BD，聯(lián)立方程組求解即可．

解答 解：（1）設直線BC的解析式為y=mx+n，
將B（4，0），C（0，4）兩點的坐標代入，
得，$\left\{\begin{array}{l}{4m+n=0}\\{n=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=4}\end{array}\right.$
所以直線BC的解析式為y=-x+4；
將B（4，0），C（0，4）兩點的坐標代入y=x²+bx+c，
得，$\left\{\begin{array}{l}{16+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{c=4}\end{array}\right.$
所以拋物線的解析式為y=x²-5x+4；
（2）如圖1，

設M（x，x²-5x+4）（1＜x＜4），則N（x，-x+4），
∵MN=（-x+4）-（x²-5x+4）=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴當x=2時，MN有最大值4；
∵MN取得最大值時，x=2，
∴-x+4=-2+4=2，即N（2，2）．
x²-5x+4=4-5×2+4=-2，即M（2，-2），
∵B（4.0）
可得BN=2$\sqrt{2}$，BM=2$\sqrt{2}$
∴△BMN的周長=4+2$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=4+4$\sqrt{2}$
（3）令y=0，解方程x²-5x+4=0，得x=1或4，
∴A（1，0），B（4，0），
∴AB=4-1=3，
∴△ABN的面積S₂=×3×2=3，
∴平行四邊形CBPQ的面積S₁=4S₂=12．
如圖2，

設平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，則BC⊥BD．
∵BC=4$\sqrt{2}$，
∴BC•BD=12，
∴BD=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$．
過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P，交x軸于點E，在直線DE上截取PQ=BC，連接CQ，則四邊形CBPQ為平行四邊形．
∵BC⊥BD，∠OBC=45°，
∴∠EBD=45°，
∴△EBD為等腰直角三角形，由勾股定理可得BE=$\sqrt{2}$BD=3，
∵B（4，0），
∴E（1，0），
設直線PQ的解析式為y=-x+t，
將E（1，0），代入，得-1+t=0，解得t=1
∴直線PQ的解析式為y=-x+1．
解方程組，$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{y={x}^{2}-5x+4}\end{array}\right.$，
得，$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∵點P是拋物線在x軸下方圖象上任意一點，
∴點P的坐標為P（3，2）

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，函數(shù)的極值，三角形的周長，三角形的面積，方程組的求解，解本題的關鍵是建立MN的函數(shù)關系式．