Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=30，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿邊CA向點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PQ，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)B、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．
（1）當(dāng)t=

 

秒時(shí)，點(diǎn)P、C、Q所構(gòu)成的三角形與Rt△ABC相似．
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程長為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）由∠C=∠C，分兩種情況討論：①PC：BC=QC：AC，求出t=6；②PC：AC=QC：BC，求出t=

90

7

＞10，不合題意舍去；因此t=6；
（2）線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程為一個(gè)三角形的中位線長．

解答：解：（1）分兩種情況討論：
①∵∠C=∠C，當(dāng)

PC

BC

=

QC

AC

時(shí)，△QPC∽△ABC，
∵BP=2t，QC=t，
∴PC=30-2t，
∴

30-2t

30

=

t

10

，
解得t=6；
②∵∠C=∠C，當(dāng)

PC

AC

=

QC

BC

時(shí)，△PQC∽△ABC，

30-2t

10

=

t

30

，解得t=

90

7

＞10，不合題意；
綜上所述：當(dāng)t=6時(shí)，點(diǎn)P、C、Q構(gòu)成的三角形與Rt△ABC相似；
（2）線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程是線段MN的長，如圖所示：
當(dāng)P在B處，Q在C處時(shí)，PQ的中點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)，P、Q停止運(yùn)動(dòng)，
PQ的中點(diǎn)為N，P到達(dá)D，Q到達(dá)A，
過點(diǎn)A作AE∥MN交BC于點(diǎn)E，
此時(shí)CD=30-2×10=10，
∴MD=15-10=5，
∵N是AD的中點(diǎn)，
∴M時(shí)DE的中點(diǎn)，
∴EM=DM=5，MN=

1

2

AE，
∴CE=10+5+5=20，
∴AE=

202+102

=10

5

，
∴MN=5

5

；
即線段PQ的中點(diǎn)所經(jīng)過的路程長為5

5

．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理以及三角形中位線的綜合運(yùn)用；要注意的是（1）中，根據(jù)P、Q的不同位置分類討論．