Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（m，0）是x軸上一點(diǎn)，m＞0，C在第一象限，且BC⊥AB，BC=AB，連接AC．
（1）當(dāng)∠CAO=105° 時(shí)，△ABC的面積為2$\sqrt{3}$；
（2）求C的坐標(biāo)；（用含m的式子表示）
（3）作∠CAB的平分線AD，M在射線AD上，N在邊AC上，且CM+MN的值最小，試確定M、N的位置，并求出當(dāng)m=3時(shí)，CM+MN的最小值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，以及∠CAO=105°，求得∠BAO=60°，再根據(jù)∠ABO=30°，以及A（0，2），求得△ABC的面積即可；
（2）先過C作CE⊥x軸于E，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，即可得出BE=AO=2，CE=BO=m，OE=2+m，據(jù)此得出C的坐標(biāo)為（2+m，m）；
（3）先作點(diǎn)N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)N'，連接MN，MN'，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得出MN=MN'，再根據(jù)當(dāng)點(diǎn)C、M、N'在同一直線上，且CN'⊥AB時(shí)，CN'最短，得出點(diǎn)N'與點(diǎn)B重合，點(diǎn)M為BC與AD的交點(diǎn)，最后根據(jù)OB=3，AO=2，在Rt△AOB中，求得AB=$\sqrt{13}$=CB，即可得出CM+MN的最小值為$\sqrt{13}$．

解答 解：（1）如圖a，∵BC⊥AB，BC=AB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵∠CAO=105°，
∴∠BAO=105°-45°=60°，
∵∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°，
∵A（0，2），
∴AO=2，AB=4，
∴由勾股定理可得OB=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×AO×BO=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$；

（2）如圖a，過C作CE⊥x軸于E，則∠CEB=∠BOA=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBE=90°，
∴∠BCE=∠ABO，
在△BCE和△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCE=∠ABO}\\{∠CEB=∠BOA}\\{BC=AB}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ABO（AAS），
又∵點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B（m，0），
∴BE=AO=2，CE=BO=m，
∴OE=2+m，
∴C的坐標(biāo)為（2+m，m）；

（3）∵M(jìn)在射線AD上，N在邊AC上，AD是∠CAB的平分線，
∴點(diǎn)N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)在AB上，
如圖b，作點(diǎn)N關(guān)于AD的對稱點(diǎn)N'，連接MN，MN'，則MN=MN'，
∴CM+MB=CM+MN'，
當(dāng)點(diǎn)C、M、N'在同一直線上，且CN'⊥AB時(shí)，CN'最短，
∵CB⊥AB，
∴此時(shí)，點(diǎn)N'與點(diǎn)B重合，點(diǎn)M為BC與AD的交點(diǎn)，
當(dāng)m=3時(shí)，OB=3，AO=2，
∴Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴CB=$\sqrt{13}$，即CN'=$\sqrt{13}$，
∴CM+MN的最小值為$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評 本題屬于三角形綜合題，主要考查了軸對稱的性質(zhì)，垂線段最短，等腰直角三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，根據(jù)垂線段最短，確定出點(diǎn)M、N的位置是解題的關(guān)鍵．最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．