Question

6．如圖，等邊三角形ABC的邊長為1，P是AB邊上的一個動點（P與A，B不重合），將其折疊點C與點P重合，折痕為EF．
（1）求證：△APE∽△BFP；
（2）設(shè)AP=x，$\frac{CE}{CF}$=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．

Answer 1

分析 （1）由∠APE+∠BPF=120°，∠BPF+∠BFP=120°，推出∠APE=∠BFP，即可解決問題．
（2））由△APE∽△BFP，推出$\frac{AP}{BF}$=$\frac{AE}{BP}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{EC}{CF}$=y，推出AE=y（1-x），BF=$\frac{x}{y}$，推出EC=1-y（1-x），CF=1-$\frac{x}{y}$，再由$\frac{EC}{CF}$=y，列出式子即可解決問題．

解答 （1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵點C與點P重合，折痕為EF，
∴∠EPF=∠ECF=60°，
∴∠APE+∠BPF=120°，
∵∠BPF+∠BFP=120°，
∴∠APE=∠BFP，
∴△APE∽△BFP．

（2）解：∵△APE∽△BFP，
∴$\frac{AP}{BF}$=$\frac{AE}{BP}$=$\frac{PE}{PF}$=$\frac{EC}{CF}$=y，
∴AE=y（1-x），BF=$\frac{x}{y}$，
∴EC=1-y（1-x），CF=1-$\frac{x}{y}$，
∵$\frac{EC}{CF}$=y，
∴y=$\frac{1-y（1-x）}{1-\frac{x}{y}}$，
整理得y=$\frac{1+x}{2-x}$，（0＜x＜1）．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、翻折變換等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．