Question

20．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，且a＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，6），并與x軸相交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C右側(cè)），且S_△ABC=12，∠ACB=45°．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若D是線段AC上一點(diǎn)，且以D、O、C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）設(shè)直線y=1為直線l，將二次函數(shù)的圖象在直線l下方的部分沿直線l翻折到直線l的上方，圖象其余的部分不變，得到一個(gè)新圖象，問(wèn)是否存在與新圖象恰有三個(gè)不同公共點(diǎn)且平行于AC的直線？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的直線的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作AE⊥x軸于E．首先求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）分兩種情形①當(dāng)△DOC∽△ABC時(shí)，②當(dāng)△ODC∽△ABC時(shí)，分別列出方程即可解決問(wèn)題．
（3）如圖3中，①設(shè)直線l：y=1與拋物線的左邊的交點(diǎn)為P，則過(guò)P平行AC的直線與新圖象有3個(gè)不同公共點(diǎn)，②設(shè)l下方部分翻折后的拋物線為L(zhǎng)，則與AC平行且和L相切的直線也符合條件，分別求解即可．

解答 解：（1）如圖1中，作AE⊥x軸于E．

∵A（3.6），S_△ABC=12，
∴$\frac{1}{2}$×BC×6=12，
∴BC=4，
∵∠ACB=45°，
∴CE=AE=6，
∴BE=2，
∴B（1，0），C（-3，0），
∵二次函數(shù)經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+c=6}\\{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$．

（2）如圖2中，

由（1）可知B（1，0），C（-3，0），A（3，6）
∴BC=4，AC=6$\sqrt{2}$，
①當(dāng)△DOC∽△ABC時(shí)，有$\frac{DC}{AC}$=$\frac{OC}{AC}$，即$\frac{DC}{6\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴DC=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$，過(guò)D作DM⊥x軸于M，則△CDE是等腰直角三角形，
∴CE=DE=$\frac{9}{2}$，OE=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）．
②當(dāng)△ODC∽△ABC時(shí)，有$\frac{DC}{BC}$=$\frac{OC}{AC}$，即$\frac{DC}{4}$=$\frac{3}{6\sqrt{2}}$，
∴CD=$\sqrt{2}$，同理可得D（-2，1），
綜上所述點(diǎn)D坐標(biāo)為（-2，1）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）．

（3）如圖3中，

∵直線AC的解析式為y=x+3，設(shè)所求直線的解析式為y=x+m，
①設(shè)直線l：y=1與拋物線的左邊的交點(diǎn)為P，則過(guò)P平行AC的直線與新圖象有3個(gè)不同公共點(diǎn)，
令y=1，則$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=1，交點(diǎn)x=-1$±\sqrt{6}$，
∴P（-1-$\sqrt{6}$，1），代入y=x+m得m=2+$\sqrt{6}$，
∴y=x+2+$\sqrt{6}$．
②設(shè)l下方部分翻折后的拋物線為L(zhǎng)，則與AC平行且和L相切的直線也符合條件，
∵L的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+4，
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{y=-\frac{1}{2}（x+1）^{2}+4}\end{array}\right.$消去y得x²+4x+2m-7=0，
由題意△=0，
∴16-4（2m-7）=0，
∴m=$\frac{11}{2}$，
∴直線為y=x+$\frac{11}{2}$，
綜上所述返回條件的直線的解析式為y=x+2+$\sqrt{6}$或y=x+$\frac{11}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)分類討論的解題思想，屬于中考?jí)狠S題．