Question

20．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=$\sqrt{3}$x經(jīng)過點A，作AB⊥x軸于點B，將△ABO繞點B旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，若點B的坐標為（2，0），則點A的對應(yīng)點C的坐標為（-1，$\sqrt{3}$）或（5，$\sqrt{3}$）．

Answer 1

分析 先利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征確定A（2，2$\sqrt{3}$），再分類討論：當△ABO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，如圖1，作CH⊥x軸，則BC=AB=2$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，在Rt△BCH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到CH=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，BH=$\sqrt{3}$CH=3，則OH=OB+BH=5，則此時C點坐標為（5，$\sqrt{3}$）；當△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，如圖2，作CH⊥x軸，同樣方法可計算出CH=$\sqrt{3}$，BH=3，而OH=BH-OB=1，則此時C點坐標為（-1，$\sqrt{3}$）．

解答 解：∵點B的坐標為（2，0），
而AB⊥x軸，
∴A的橫坐標為2，
當x=2時，y=$\sqrt{3}$x=2$\sqrt{3}$，
∴A（2，2$\sqrt{3}$），
當△ABO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，如圖1，作CH⊥x軸，則BC=AB=2$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，

在Rt△BCH中，∵∠HBC=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，BH=$\sqrt{3}$CH=3，
∴OH=OB+BH=2+3=5，
∴C點坐標為（5，$\sqrt{3}$）；
當△ABO繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBD，如圖2，作CH⊥x軸，則BC=AB=2$\sqrt{3}$，∠ABC=60°，

在Rt△BCH中，∵∠HBC=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{3}$，BH=$\sqrt{3}$CH=3，
∴OH=BH-OB=3-2=1，
∴C點坐標為（-1，$\sqrt{3}$），
綜上所述，點A的對應(yīng)點C的坐標為（-1，$\sqrt{3}$）或（5，$\sqrt{3}$）．
故答案為（-1，$\sqrt{3}$）或（5，$\sqrt{3}$）．

點評 本題考查了坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn)：圖形或點旋轉(zhuǎn)之后要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的角度和圖形的特殊性質(zhì)來求出旋轉(zhuǎn)后的點的坐標．常見的是旋轉(zhuǎn)特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°；記住關(guān)于原點對稱的點的坐標特征．解決本題的關(guān)鍵是正確理解題目，按題目的敘述一定要把各點的大致位置確定，正確地作出圖形．