Question

5．如圖，在等腰直角三角形ABC中，P為斜邊BC的中點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)的直角的兩邊分別與邊AB，AC交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，當(dāng)∠EPF旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A，B重合），試探究PE，PF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 PE=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF；只要證明△PEF是等腰直角三角形即可，即證明∠EPF=90°，PE=PF．連接AP，證線△BPE≌△APF即可．段相等通常是證明線段所在的三角形全等．而等腰三角形最常用的輔助線是用“三線合一”作輔助線，構(gòu)造三角形全等．

解答 解：PE=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF；
理由如下：
連接AP，
∵PA是等腰直角△ABC底邊上的中線，
∴PA⊥PC（等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一））．
又∵AB⊥AC，
∴∠1=90°-∠PAC，∠C=90°-∠PAC，
∴∠1=∠C（等量代換）．
同理可得PA⊥PC，PE⊥PF，
∴∠2=90°-∠APF，∠3=90°-∠APF，
∴∠2=∠3．
由PA是Rt△ABC斜邊上的中線，得：
PA=$\frac{1}{2}$BC=PC（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）．
在△PAE和△PCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠C}\\{PA=PC}\\{∠2=∠3}\end{array}\right.$，
∴△PAE≌△PCF（ASA）．
∴PE=PF（全等三角形對應(yīng)邊相等），
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE=PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$EF．

點(diǎn)評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，證明線段相等通常是證明線段所在的三角形全等．而等腰三角形最常用的輔助線是用“三線合一”作輔助線，構(gòu)造三角形全等．