Question

12．在三角形MNQ中．
（1）如圖1，求證：∠M+∠N+∠Q=180°；
（2）如圖2，當(dāng)MP∥NQ，且∠PMQ=90°-$\frac{1}{2}$∠NMQ．求證：∠N=∠MQN；
（3）在（2）的條件下，如圖3，在MN的延長線上取一點(diǎn)K，連接KQ交MP于點(diǎn)G，且2KG=KQ，2∠MKG=∠NMQ，過點(diǎn)K，作RK⊥NK，交直線NQ于點(diǎn)R，若KN=15，KR=20，NR=25，QR=16，在直線MP上有一點(diǎn)B，在直線NQ上有一點(diǎn)A，當(dāng)△ABQ和△KNQ的面積相等時．求線段AN的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1，作平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等得：∠AMN=∠N，∠BMQ=∠Q，再由平角的定義：∠AMB=180°，等量代換可得結(jié)論；
（2）如圖2，先由平行線得：∠1=∠N，∠PMQ=∠MQN，再把已知∠PMQ=90°-$\frac{1}{2}$∠NMQ兩邊同時乘以2，移項(xiàng)得：2∠PMQ+∠NMQ=180°，由平角的定義得：∠1+∠PMQ+∠NMQ=180°，兩式對比后得：∠PMQ=∠1，結(jié)論得出．
（3）先證明△KQN是直角三角形，并求出NQ的長為9，求△KQN的面積為54，設(shè)AN=x，分兩種情況：
①當(dāng)A在點(diǎn)N的左側(cè)時，如圖3，AQ=9+x，②當(dāng)A在點(diǎn)N的右側(cè)時，如圖4，AQ=x-9，分別根據(jù)△ABQ和△KNQ的面積相等列等式求解．

解答 證明：（1）如圖1，過M作AB∥NQ，
∴∠AMN=∠N，∠BMQ=∠Q，
∵∠AMN+∠NMQ+∠BMQ=180°，
∴∠N+∠NMQ+∠Q=180°，
即：∠M+∠N+∠Q=180°；
（2）如圖2，
∵M(jìn)P∥NQ，
∴∠1=∠N，∠PMQ=∠MQN，
∵∠PMQ=90°-$\frac{1}{2}$∠NMQ，
∴2∠PMQ=180°-∠NMQ，
∴2∠PMQ+∠NMQ=180°，
∵∠1+∠PMQ+∠NMQ=180°，
∴∠PMQ=∠1，
∴∠N=∠MQN；
（3）∵2KG=KQ，
∴G是KQ的中點(diǎn)，
∵2∠MKG=∠NMQ，∠NMQ=∠MKG+∠MQG，
∴∠MKG=∠MQG，
∴MK=MQ，
∴MG⊥KQ，
∵M(jìn)P∥NQ，
∴NQ⊥KQ，
∴∠NQK=90°，
∵KN=15，NQ=NR-QR=25-16=9，
∴KQ=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
∴S_△KNQ=$\frac{1}{2}$NQ•KQ=$\frac{1}{2}$×9×12=54，
設(shè)AN=x，分兩種情況：
①當(dāng)A在點(diǎn)N的左側(cè)時，如圖3，AQ=9+x，
∵KQ=12，
∴GQ=$\frac{1}{2}$KQ=6，
∵S_△ABQ=S_△KNQ，
∴$\frac{1}{2}$AQ•GQ=54，
$\frac{1}{2}$（9+x）×6=54，
x=9，
②當(dāng)A在點(diǎn)N的右側(cè)時，如圖4，AQ=x-9，
得：$\frac{1}{2}$（x-9）×6=54，
x=27，
則線段AN的長為9或27．

點(diǎn)評 本題是三角形的綜合題，難度不大，考查了三角形內(nèi)角和定理的證明、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理或外角定理可以求角的大小關(guān)系，同時與角有關(guān)系的性質(zhì)還有平行線及等腰三角形，都要熟練掌握，在幾何證明中經(jīng)常運(yùn)用．