Question

2．定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母的過程叫做分母有理化．
如：將$\frac{2}{{\sqrt{5}-\sqrt{3}}}$分母有理化．
解：原式=$\frac{{2（{\sqrt{5}+\sqrt{3}}）}}{{（{\sqrt{5}-\sqrt{3}}）（{\sqrt{5}+\sqrt{3}}）}}$=（${\sqrt{5}$+$\sqrt{3}}$）．
運用上面的方法解決問題：
（1）將$\frac{2}{{\sqrt{3}+2}}$分母有理化．
（2）化簡：$\frac{1}{{1+\sqrt{2}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$+$\frac{1}{{\sqrt{3}+\sqrt{4}}}$+…+$\frac{1}{{\sqrt{2015}+\sqrt{2016}}}$．

Answer 1

分析 （1）先分母有理化，再化簡即可；
（2）先分母有理化，再合并，即可得出答案．

解答 解：（1）$\frac{2}{\sqrt{3}+2}$=$\frac{2×（2-\sqrt{3}）}{（2+\sqrt{3}）×（2-\sqrt{3}）}$=$\frac{4-2\sqrt{3}}{4-3}$=4-2$\sqrt{3}$；

（2）原式=$\frac{1×（\sqrt{2}-1）}{（\sqrt{2}+1）×（\sqrt{2}-1）}$+$\frac{1×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）×（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}$+…+$\frac{1×（\sqrt{2016}-\sqrt{2015}）}{（\sqrt{2016}+\sqrt{2015}）×（\sqrt{2016}-\sqrt{2015}）}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2016}$-$\sqrt{2015}$
=-1+$\sqrt{2016}$
=-1+12$\sqrt{14}$．

點評 本題考查了分母有理化的應用，能正確進行分母有理化是解此題的關鍵．