Question

5．如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）、D（2，n）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求使BM-AM的值最大時(shí)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，將射線BA沿BO翻折，交y軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；
（4）在（3）的條件下，連結(jié)ON，OD，如圖2，請(qǐng)求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)）．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得a和b的值，可求得拋物線解析式，再把D點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得n的值，可求得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A、B、M三點(diǎn)在一條直線上，且D在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BM-AM的值最大，可先求得直線AB的解析式，結(jié)合對(duì)稱軸方程可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可證明△AOB≌△COB，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求得直線BC的解析式，與拋物線的交點(diǎn)即為N點(diǎn)；
（4）將△NOB沿x軸翻折，由三角形相似和全等可求得$\frac{{OP}_{1}}{O{N}_{1}}$=$\frac{OD}{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，則可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)，再把△OP₁D沿直線y=-x翻折，由對(duì)稱性可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P．

解答 解：
（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4），
∴把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=0}\\{16a+4b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式是y=x²-3x．
∵拋物線過點(diǎn)D，
∴n=4-6=-6，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2）；
（2）當(dāng)點(diǎn)A、B、M三點(diǎn)在一條直線上，且D在線段BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，BM-AM的值最大，
設(shè)直線AB解析式為：y=kx+m，
將 A（3，0）、B（4，4）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+m=0}\\{4k+m=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=4}\\{m=-12}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=4x-12，
∵拋物線對(duì)稱軸為x=$\frac{3}{2}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，y=-6，
∴當(dāng)點(diǎn)M（$\frac{3}{2}$，-6）時(shí)，BM-AM的值最大；
（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），
根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)得出∠CBO=∠ABO，∠COB=∠AOB，
在△AOB和△COB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠COB=∠AOB}\\{OB=OB}\\{∠CBO=∠ABO}\end{array}\right.$
∴△AOB≌△COB（ASA），
∴OC=OA=3，
∴點(diǎn)C（0，3）
∴可設(shè)直線CB的解析式為y=kx+3，過點(diǎn)B（4，4），代入可得4=4k+3，解得k=$\frac{1}{4}$，
∴直線CB的解析式是y=$\frac{1}{4}$x+3，
∵點(diǎn)N在直線CB上，
∴設(shè)點(diǎn)N（n，$\frac{1}{4}$n+3），
又點(diǎn)N在拋物線y=x²-3x上，
∴$\frac{1}{4}$n+3=n²-3n，解得：n₁=-$\frac{3}{4}$，n₂=4（不合題意，舍去），
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{4}$，$\frac{45}{16}$）；
（4）如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，則N₁（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{45}{16}$），

∵B₁（4，-4），D（2，-2），
∴O、D、B₁都在直線y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴$\frac{{OP}_{1}}{O{N}_{1}}$=$\frac{OD}{O{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）；
將△OP₁D沿直線y=-x翻折，由對(duì)稱性可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P₂（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-$\frac{3}{8}$，-$\frac{45}{32}$）或（$\frac{45}{32}$，$\frac{3}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．在（1）中注意函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，在（2）中確定出M點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵，在（3）中注意利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求得C點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，在（4）中注意利用軸對(duì)稱的性質(zhì)確定出P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)，難度較大．