Question

6．如圖，在平面直角坐標系中，點A（0，5），C（10，0）在一次函數y=kx+b（b≠0）的圖象上，與反比例函數y=$\frac{k′}{x}$（k′≠0）交于點B（8，t）．
（1）求一次函數和反比例函數的函數關系式；
（2）將一次函數的圖象向下平移m個單位，恰好與反比例函數圖象只有一個交點，求m的值．

Answer 1

分析 （1）首先將兩個已知的點代入一次函數的一般形式利用待定系數法確定一次函數的解析式，然后求得點B的坐標，從而求得反比例函數的解析式；
（2）由于將直線AB向下平移m（m＞0）個單位長度得直線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5-m，則直線y=-$\frac{1}{2}$x+5-m與反比例函數有且只有一個公共點，即方程$\frac{8}{x}$=-$\frac{1}{2}$x+5-m只有一組解，再根據判別式的意義得到關于m的方程，最后解方程求出m的值．

解答 解：（1）∵點A（0，5），C（10，0）在一次函數y=kx+b（b≠0）的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=5}\\{10x+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴一次函數的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5；
∵B（8，t）在一次函數的圖象上，
∴t=-$\frac{1}{2}$×8+5=1，
∴B（8，1），
∴k=8×1=8，
∴反比例函數的解析式為y=$\frac{8}{x}$；

（2）將直線AB向下平移m（m＞0）個單位長度得直線解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5-m，
∵直線AB向下平移m（m＞0）個單位長度后與反比例函數的圖象只有一個公共交點，
∴$\frac{8}{x}$=-$\frac{1}{2}$x+5-m，
整理得x²-2（m-5）x+16=0，
△=[2（m-5）]²-4×1×16=0，解得m=9或m=1，
即m的值為1或9．

點評 本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了一次函數與幾何變換．