Question

1．我們知道平行四邊形的兩條對(duì)角線把平行四邊形分成了四個(gè)面積相等的小三角形．
（1）若點(diǎn)O為平行四邊形對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)（不包括A、C）．如圖1，上述結(jié)論是否還成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，說(shuō)出它們之間還存在什么關(guān)系？為什么？
（2）若點(diǎn)O為平行四邊形內(nèi)任意一點(diǎn)，如圖2，這四個(gè)小三角形又有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不需證明．

Answer 1

分析 （1）首先連接BD，交AC于點(diǎn)E，由四邊形ABCD是平行四邊形，可得BE=DE，然后由三角形中線的性質(zhì)，證得S_△ABE=S_△ADE，S_△OBE=S_△ODE，S_△BCE=S_△DCE，繼而求得答案．
（2）過(guò)O作EF⊥AD，交AD于E，交CD于F，由三角形面積公式得出S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OE，S_△BOC=$\frac{1}{2}$BC•OF，由平行四邊形的性質(zhì)得出∴S_△AOD+S_△BOC=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$四邊形ABCD的面積，同理：S_△AOB+S_△COD=$\frac{1}{2}$平行四邊形ABCD的面積，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）不成立．S_{△OAB=S△OAD}，S_△BOC=S_△DOC．理由如下：
連接BD，交AC于點(diǎn)E，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BE=DE，
∴S_△ABE=S_△ADE，S_△OBE=S_△ODE，S_△BCE=S_△DCE，
∴S_△OAB=S_△OAD，S_△BOC=S_△DOC．
（2）S_△AOD+S_△BOC=S_△AOB+S_△COD．理由如下：
過(guò)O作EF⊥AD，交AD于E，交CD于F，如圖2所示：
則S_△AOD=$\frac{1}{2}$AD•OE，S_△BOC=$\frac{1}{2}$BC•OF，
∴S_△AOD+S_△BOC=$\frac{1}{2}$BC•（OE+OF）=$\frac{1}{2}$BC•EF=$\frac{1}{2}$四邊形ABCD的面積，
同理：S_△AOB+S_△COD=$\frac{1}{2}$平行四邊形ABCD的面積，
∴S_△AOD+S_△BOC=S_△AOB+S_△COD．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形面積公式．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和三角形面積公式，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．