Question

9．△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°．
（1）如圖1，點M是BA延長線上一點，連結CM，K是AC上一點，BK延長線交CM于N，∠MBN=∠MCA=15°，BK=8，求CM的長度；
（2）如圖2，直線l經過點C，AF⊥l于點F，BE⊥l于點E，點D是AB的中點，連接DE，求證：AF=BE+$\sqrt{2}$DE；
（3）將圖2中的直線l旋轉到△ABC的外部，其他條件不變，請直接寫出AF、BE、DE的關系．

Answer 1

分析 （1）過C作CD⊥AB于D，根據等腰直角三角形的性質得到∠ABC=∠BAC=45°，得到∠KBC=30°，根據直角三角形的性質得到BC=4$\sqrt{3}$，求得CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{6}$，解直角三角形即可得到結論；
（2）如圖2，連接DF，CD，根據等腰直角三角形的性質得到CD=BD，∠CDB=90°，由全等三角形的性質得到BE=CF，CE=AF，推出△BDE≌△CDF，根據全等三角形的性質得到∠EDB=∠FDC，DE=DF，根據余角的性質得到∠EDF=90°，根據等腰直角三角形的性質得到EF=$\sqrt{2}$DE，于是得到結論；
（3）BE+AF=$\sqrt{2}$DE，連接CD，DF，由（2）證得△BCE≌△ACF，根據全等三角形的性質得到BE=CF，CE=AF，由（2）證得△DEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得到EF=$\sqrt{2}$DE，即可得到結論．

解答 解：（1）過C作CD⊥AB于D，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵∠MBN=15°，
∴∠KBC=30°，
∵BK=8，
∴BC=4$\sqrt{3}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{6}$，
∵∠MCA=15°，∠BAC=45°，
∴∠M=30°，
∴CM=2CD=4$\sqrt{6}$；

（2）∵BE⊥CE，
∴∠BEC=∠ACB=90°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠EBC=∠CAF，
∵AF⊥l于點F，
∴∠AFC=90°，
在△BCE與△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠BEC=90°}\\{∠EBC=∠ACF}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBE，
如圖2，連接DF，CD，
∵點D是AB的中點，
∴CD=BD，∠CDB=90°，
∵△ACF≌△CBE，
∴BE=CF，CE=AF，
∵∠EBD=∠DCF，
在△BDE與△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠EBD=∠FCD}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF，
∴∠EDB=∠FDC，DE=DF，
∵∠CDF+∠FDB=90°，∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，
∴AF=CE=EF+CF=BE+$\sqrt{2}$DE；

（3）如圖3，連接CD，DF，
由（2）證得△BCE≌△ACF，
∴BE=CF，CE=AF，
由（2）證得△DEF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，
∵EF=CE+CF=AF+BE=$\sqrt{2}$DE．
即AF+BE=$\sqrt{2}$DE．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半，證得△BCE≌△ACF是解題的關鍵．