Question

7．如圖，已知?ABCD的頂點(diǎn)A、C分別在直線x=2和x=5上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為7．

Answer 1

分析 過點(diǎn)B作BD⊥直線x=5，交直線x=5于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E．則由勾股定理可求出OB的長．由于四邊形OABC是平行四邊形，所以O(shè)A=BC，又由平行四邊形的性質(zhì)可推得∠OAF=∠BCD，則可證明△OAF≌△BCD，所以O(shè)E的長固定不變，當(dāng)BE最小時(shí)，OB取得最小值，從而可求．

解答 解：過點(diǎn)B作BD⊥直線x=5，交直線x=5于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥x軸，交x軸于點(diǎn)E，直線x=2與OC交于點(diǎn)M，與x軸交于點(diǎn)F，直線x=5與AB交于點(diǎn)N，如圖：
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直線x=2與直線x=5均垂直于x軸，
∴AM∥CN，
∴四邊形ANCM是平行四邊形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FOA=∠DBC}\\{OA=BC}\\{∠OAF=∠BCD}\end{array}\right.$，
∴△OAF≌△BCD（ASA）．
∴BD=OF=2，
∴OE=5+2=7，
∴OB=$\sqrt{O{E}^{2}+B{E}^{2}}$．
由于OE的長不變，所以當(dāng)BE最小時(shí)（即B點(diǎn)在x軸上），OB取得最小值，最小值為OB=OE=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．