Question

13．如圖1，⊙O的半徑為2$\sqrt{3}$，弦AB=6，點P是圓周上的一動點（不與A，B重合），連結(jié)AP，BP．
（1）當(dāng)點P在優(yōu)弧APB上時，求∠APB的度數(shù)；
（2）如圖2，作AC⊥AP交直線BP于點C，當(dāng)△ABC為等腰三角形時，求∠ABP的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)垂徑定理得：BD=$\frac{1}{2}$AB=3，由勾股定理得OD的長，發(fā)現(xiàn)是斜邊的一半，所以它所對的銳角是30°，根據(jù)半徑相等和等邊對等角得：∠OAB=∠DBO=30°，所以∠AOB=120°，利用同弧所對的圓周角是圓心角的一半得結(jié)論；
（2）當(dāng)△ABC為等腰三角形時，只有一種情況成立，就是AB=BC，根據(jù)等邊對等角可知：∠C=∠BAC，由（1）得：∠APB=60°，得∠C=30°，根據(jù)外角定理可以得出∠ABP的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖1，連接OA、OB，過O作OD⊥AB于D，
∵AB=6，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB=3，
由勾股定理得：OD=$\sqrt{O{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB，
∴∠DBO=30°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠DBO=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°；
（2）如圖2，當(dāng)△ABC為等腰三角形時，
∴AB=BC，
∴∠C=∠BAC，
由（1）得：∠APB=60°，
∵AP⊥AC，
∴∠PAC=90°，
∴∠C=30°，
∴∠ABP=∠C+∠BAC=60°．

點評 本題考查了等腰三角形和圓周角定理，是�？碱}型；等腰三角形中要熟練掌握等邊對等角，等角對等邊；在圓中常連接半徑，過圓心作弦的垂線構(gòu)建直角三角形利用垂徑定理和勾股定理求邊長，同時對于角的關(guān)系要知道：同弧所對的圓周角等于圓心角度數(shù)的一半．