Question

1．已知拋物線y=ax²-2ax+c與x軸交于A（-1，0）、B兩點，交y軸于點C，E（-2，5）、F兩點在拋物線上．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）若△ACF的一個角的角平分線在坐標軸上，求點F的坐標；
（3）若△CEF的面積為5，直接寫出點F的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；
（2）分兩種情況討論：①當y軸平分∠ACF時，如圖2，當x軸平分∠FAC時，點F的坐標就是直線FC和拋物線的交點，②當x軸平分∠FAC時，如圖3，直線AF與拋物線的交點；
（3）先設出點F的坐標，利用面積差列式計算．

解答 解：（1）如圖1，
把點A（-1，0）和點E（-2，5）分別代入函數(shù)解析式中得：
a+2a+c=0，4a+4a+c=5，
∴c=-3，a=1，
∴此二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3；
（2）當x=0時，y=-3，
∴C（0，-3），
分兩種情況討論：
①當y軸平分∠ACF時，如圖2，
設CF與x軸交于點D，
∵A（-1，0），
∴D（1，0），
設CF的解析式為：y=kx+b，
把C（0，-3）和D（1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴CF的解析式為：y=3x-3，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=3x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
x²-2x-3=3x-3，
x₁=0（舍），x₂=5，
當x=5時，y=3×5-3=12，
∴F（5，12），
②當x軸平分∠FAC時，如圖3，設直線AF交y軸于D，
同理得D（0，3），
此時AF的解析式為：y=3x+3，
則$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，
x²-2x-3=3x+3，
解得：x₁=6，x₂=-1（舍），
當x=6時，y=3×6+3=21，
∴F（6，21），
綜上所述，符合條件的點F的坐標為（5，12）或（6，21）；
（3）設F（a，a²-2a-3），
如圖4，構建如圖所示的矩形EMNG，
由題意得：S_△CEF=S_矩形EMNG-S_△EMC-S_△CNF-S_△EFG=5，
8（2+a）-$\frac{1}{2}$×2×8-$\frac{1}{2}$a（a²-2a-3+3）-$\frac{1}{2}$（a+2（5-a²+2a+3）=5，
解得：a=-1±$\sqrt{6}$，
當a=-1+$\sqrt{6}$時，a²-2a-3=（a-1）²-4=（-1$+\sqrt{6}$）²-4=6-4$\sqrt{6}$，
當a=-1-$\sqrt{6}$時，a²-2a-3=（-1-$\sqrt{6}$）²-4=6+4$\sqrt{6}$，
∴F（-1+$\sqrt{6}$，6-4$\sqrt{6}$）或（-1-$\sqrt{6}$，6+4$\sqrt{6}$）．

點評 本題是二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題，比較麻煩，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；能準確求出拋物線與x軸交點（把y=0代入）和與y軸交點坐標（把x=0代入）；知道兩函數(shù)圖象的交點坐標就是兩函數(shù)解析式所組成的方程組的解．